Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30^circ com a horizontal, com uma velocidade de 200 m / s. Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m / s 2 e desprezando a resistência do ar, determine o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura 480 m acima do ponto de lançamento, em segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado com uma velocidade inicial de num ângulo de em relação à horizontal. A gente quer descobrir quanto tempo passa entre as duas vezes que o projétil está a de altura. Para isso, vamos usar os conceitos de movimento vertical de projéteis e algumas fórmulas de física básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. Como estamos focando na altura, a gente só precisa da componente vertical ( Vy0 = V0 cdot sin(theta) ).
A fórmula para a componente vertical é:
Vy0 = 200 cdot sin(30^circ) = 200 cdot 0,5 = 100 , m/s
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da posição vertical no tempo, que leva em conta a aceleração da gravidade ( y(t) = Vy0 cdot t - 12 g t^2 ):
480 = 100t - 5t^2
Substituindo os valores:
5t^2 - 100t + 480 = 0
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:

Passo 4

Essa é uma equação quadrática do tipo t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, , e .
Calculando o discriminante:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
t = 100 pm raiz40010 = 100 pm 2010
Isso nos dá duas soluções:
t1 = 12010 = 12 , s
t2 = 8010 = 8 , s

Resposta

O intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de de altura é de 4 segundos.

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