A equação horária de uma particula é dada por r(t)=R cos (omega t) imath+R sen(omega t) jmath. Calcule o módulo da velocidade instantânea e da aceleração instantânea em função de R e omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo, usando vetores. O conteúdo aqui envolve Cinemática Vetorial, onde vamos precisar calcular a velocidade instantânea e a aceleração instantânea. Para isso, vamos derivar as funções de posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da posição da partícula:
r(t) = R cos (omega t) imath + R sin(omega t) jmath
Aqui, $ R $ é o raio do movimento circular, $ \omega $ é a velocidade angular, e $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. Vamos fazer isso componente por componente.
A derivada de $ R \cos (\omega t) $ em relação a $ t $ é:
R cos (omega t)
E a derivada de $ R \sin(\omega t) $ em relação a $ t $ é:
t
Então, a velocidade é:
ddt [R cos (omega t)] = -R omega sin(omega t)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade instantânea, que é o tamanho da velocidade. Usamos a fórmula:
|v(t)| = raiz(-R omega sin(omega t))^2 + (R omega cos(omega t))^2
Simplificando:
|v(t)| = R omega raizsin^2(omega t) + cos^2(omega t)
Sabemos que $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $, então:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1

Passo 5

Para encontrar a aceleração instantânea, vamos derivar a velocidade em relação ao tempo.
A derivada de $ -R \omega \sin(\omega t) $ em relação a $ t $ é:
-R omega sin(omega t)
E a derivada de $ R \omega \cos(\omega t) $ em relação a $ t $ é:
t
Então, a aceleração é:
ddt [-R omega sin(omega t)] = -R omega^2 cos(omega t)

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo da aceleração instantânea:
|a(t)| = raiz(-R omega^2 cos(omega t))^2 + (-R omega^2 sin(omega t))^2
Simplificando:
|a(t)| = R omega^2 raizcos^2(omega t) + sin^2(omega t)
Como $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $:
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1

Resposta

O módulo da velocidade instantânea é $ R \omega $ e o módulo da aceleração instantânea é $ R \omega^2 $.

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