A equação horária de uma particula é dada por
. Calcule o módulo da velocidade instantânea e da aceleração instantânea em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo, usando vetores. O conteúdo aqui envolve Cinemática Vetorial, onde vamos precisar calcular a velocidade instantânea e a aceleração instantânea. Para isso, vamos derivar as funções de posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da posição da partícula:
Aqui, $ R $ é o raio do movimento circular, $ \omega $ é a velocidade angular, e $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. Vamos fazer isso componente por componente.
A derivada de $ R \cos (\omega t) $ em relação a $ t $ é:
E a derivada de $ R \sin(\omega t) $ em relação a $ t $ é:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade instantânea, que é o tamanho da velocidade. Usamos a fórmula:
Simplificando:
Sabemos que $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $, então:
Passo 5
Para encontrar a aceleração instantânea, vamos derivar a velocidade em relação ao tempo.
A derivada de $ -R \omega \sin(\omega t) $ em relação a $ t $ é:
E a derivada de $ R \omega \cos(\omega t) $ em relação a $ t $ é:
Então, a aceleração é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo da aceleração instantânea:
Simplificando:
Como $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $:
Resposta
O módulo da velocidade instantânea é $ R \omega $ e o módulo da aceleração instantânea é $ R \omega^2 $.