Equação de Laplace. Considere um sistema formado por uma região retangular, de largura
e muito comprida, delimitada pelas seguintes condições de contorno:
Determine o valor do potencial
dentro desta região retangular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema envolvendo a Equação de Laplace, que é uma equação diferencial que descreve potenciais estacionários, tipo elétricos ou gravitacionais, em uma região sem cargas ou massas. Nosso sistema é uma região retangular com largura
e muito comprida (ou seja, se estende até o infinito em uma direção). As condições de contorno dadas são:
Vamos precisar usar separação de variáveis para resolver a equação de Laplace dentro dessa região e encontrar o potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace em duas dimensões é dada por:
Nossa missão é encontrar uma função
que satisfaça essa equação dentro do retângulo e também atenda às condições de contorno que foram dadas.
Passo 3
A gente vai usar o método de separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma única variável. Ou seja, vamos supor que:
Isso ajuda a separar a equação em partes que dependem apenas de
e apenas de
.
Passo 4
Substituindo
na Equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Como
e
são independentes, cada termo deve ser igual a uma constante negativa para que a soma dê zero. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 5
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
- Para
:
A solução geral para
depende do valor de
. Já que as condições de contorno em
e
são zeros, vamos assumir que
, onde
é um número inteiro positivo. Assim, a solução para
fica:
Para
, a solução associada a essa
é:
Aqui,
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
A solução geral para
será uma soma de todas essas soluções possíveis:
Agora, precisamos determinar os coeficientes
usando a condição de contorno
. Substituindo
:
Essa é uma expansão em série de Fourier, onde
são os coeficientes de Fourier da função
:
Resposta
Portanto, o potencial
dentro da região retangular é dado por:
Exercícios relacionados
Equação da Onda. Uma corda de comprimento
é esticada entre os pontos
e
no eixo-
. Em um instante de tempo
, a corda tem uma forma dada pela função
e é liberada do repouso. Mostre que o deslocamento da corda em um instante de tempo qualquer
é dado por:
onde
é a velocidade da onda na corda.
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral:
, sendo
qualquer caminho que parta de
e chegue em
.
Calcule.