Equação de Laplace. Considere um sistema formado por uma região retangular, de largura L e muito comprida, delimitada pelas seguintes condições de contorno:
varphi(0, y) = 0; varphi(x, 0) = Phi(x)
varphi(L, y) = 0, varphi(x, y -> infinito) = 0
Determine o valor do potencial varphi(x, y) dentro desta região retangular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema envolvendo a Equação de Laplace, que é uma equação diferencial que descreve potenciais estacionários, tipo elétricos ou gravitacionais, em uma região sem cargas ou massas. Nosso sistema é uma região retangular com largura e muito comprida (ou seja, se estende até o infinito em uma direção). As condições de contorno dadas são:
Vamos precisar usar separação de variáveis para resolver a equação de Laplace dentro dessa região e encontrar o potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace em duas dimensões é dada por:
Nossa missão é encontrar uma função que satisfaça essa equação dentro do retângulo e também atenda às condições de contorno que foram dadas.

Passo 3

A gente vai usar o método de separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma única variável. Ou seja, vamos supor que:
Isso ajuda a separar a equação em partes que dependem apenas de e apenas de .

Passo 4

Substituindo na Equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Como e são independentes, cada termo deve ser igual a uma constante negativa para que a soma dê zero. Vamos chamar essa constante de :

Passo 5

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
A solução geral para depende do valor de . Já que as condições de contorno em e são zeros, vamos assumir que , onde é um número inteiro positivo. Assim, a solução para fica:
Para , a solução associada a essa é:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

A solução geral para será uma soma de todas essas soluções possíveis:
Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição de contorno . Substituindo :
Essa é uma expansão em série de Fourier, onde são os coeficientes de Fourier da função :

Resposta

Portanto, o potencial dentro da região retangular é dado por:

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Equação da Onda. Uma corda de comprimento L é esticada entre os pontos (0,0) e (L, 0) no eixo- x. Em um instante de tempo t=0, a corda tem uma forma dada pela função f(x), 0 e é liberada do repouso. Mostre que o deslocamento da corda em um instante de tempo qualquer t é dado por:
y(x, t)=summ=1^infty(2L integral0^L f(x) sin m pi xL d x) sin m pi xL cos m pi v tL
onde v é a velocidade da onda na corda.
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx + 2 u_xy + 5 u_yy = 0
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral: integralC sen(y) d x+(x cos (y)-sen(y)) d y, sendo C qualquer caminho que parta de (2,0) e chegue em (1, pi).
Calcule.
integral sen 5 x d x