Equação da Onda. Uma corda de comprimento
é esticada entre os pontos
e
no eixo-
. Em um instante de tempo
, a corda tem uma forma dada pela função
e é liberada do repouso. Mostre que o deslocamento da corda em um instante de tempo qualquer
é dado por:
onde
é a velocidade da onda na corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Equação da Onda, que é uma parte da física e matemática que estuda como as ondas se comportam. Nesse caso específico, temos uma corda de comprimento
esticada entre os pontos
e
no eixo
. No instante inicial
, a corda tem um formato dado pela função
e é liberada do repouso. A gente precisa mostrar que o deslocamento da corda em qualquer tempo
pode ser representado por uma série infinita envolvendo senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação da Onda para uma corda esticada é dada por:
onde
é o deslocamento da corda em um ponto
e tempo
, e
é a velocidade da onda na corda.
Passo 3
Como a corda está fixa nas pontas
e
, as condições de contorno são:
E, já que a corda é liberada do repouso, a condição inicial de velocidade é:
Passo 4
Para resolver a equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora temos duas equações diferenciais:
Para satisfazer as condições de contorno, as soluções para
serão funções senoidais. Então, definimos:
Isso nos dá as modas da onda na corda.
Passo 6
As soluções gerais para
e
são então:
Portanto, cada termo da série de Fourier para a solução da onda é:
onde
são os coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial de deslocamento
:
Essa é uma série de Fourier para
usando apenas senos, já que as condições de contorno anulam os termos de cosseno.
Passo 8
Os coeficientes
são dados por:
Isso vem da fórmula dos coeficientes da série de Fourier para funções ímpares em relação aos limites dados.
Resposta
Portanto, o deslocamento da corda em qualquer instante de tempo
é dado por: