Equação da Onda. Uma corda de comprimento L é esticada entre os pontos (0,0) e (L, 0) no eixo- x. Em um instante de tempo t=0, a corda tem uma forma dada pela função f(x), 0 e é liberada do repouso. Mostre que o deslocamento da corda em um instante de tempo qualquer t é dado por:
y(x, t)=summ=1^infty(2L integral0^L f(x) sin m pi xL d x) sin m pi xL cos m pi v tL
onde v é a velocidade da onda na corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Equação da Onda, que é uma parte da física e matemática que estuda como as ondas se comportam. Nesse caso específico, temos uma corda de comprimento esticada entre os pontos e no eixo . No instante inicial , a corda tem um formato dado pela função e é liberada do repouso. A gente precisa mostrar que o deslocamento da corda em qualquer tempo pode ser representado por uma série infinita envolvendo senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação da Onda para uma corda esticada é dada por:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
onde é o deslocamento da corda em um ponto e tempo , e é a velocidade da onda na corda.

Passo 3

Como a corda está fixa nas pontas y(0, t) = 0 e y(L, t) = 0 para todo t e partial ypartial t(x, 0) = 0 , as condições de contorno são:
E, já que a corda é liberada do repouso, a condição inicial de velocidade é:

Passo 4

Para resolver a equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de y(x, t) = X(x)T(t) e outra que depende apenas de X(x) d^2 T(t)dt^2 = v^2 T(t) d^2 X(x)dx^2 :
1T(t) d^2 T(t)dt^2 = v^2 1X(x) d^2 X(x)dx^2 = -lambda
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Agora temos duas equações diferenciais:
d^2 Xdx^2 + lambdav^2 X = 0
d^2 Tdt^2 + lambda T = 0
Para satisfazer as condições de contorno, as soluções para lambda = ( m pi vL )^2 com m = 1, 2, 3, dots serão funções senoidais. Então, definimos:
Isso nos dá as modas da onda na corda.

Passo 6

As soluções gerais para Xm(x) = sin( m pi xL ) e Tm(t) = cos( m pi v tL ) são então:
ym(x, t) = Am sin( m pi xL ) cos( m pi v tL )
Portanto, cada termo da série de Fourier para a solução da onda é:
onde são os coeficientes a serem determinados.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes f(x) = summ=1^infty Am sin( m pi xL ) , usamos a condição inicial de deslocamento :
Essa é uma série de Fourier para usando apenas senos, já que as condições de contorno anulam os termos de cosseno.

Passo 8

Os coeficientes Am = 2L integral0^L f(x) sin( m pi xL ) dx são dados por:
Isso vem da fórmula dos coeficientes da série de Fourier para funções ímpares em relação aos limites dados.

Resposta

Portanto, o deslocamento da corda em qualquer instante de tempo y(x, t) = summ=1^infty ( 2L integral0^L f(x) sin( m pi xL ) dx ) sin( m pi xL ) cos( m pi v tL ) é dado por:

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