Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial parcial aqui:
. Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma canônica e, se possível, encontrar suas soluções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, especialmente como classificá-las e reduzi-las para uma forma mais simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo dessa equação. Em equações diferenciais parciais de segunda ordem, a classificação (elíptica, hiperbólica ou parabólica) depende dos coeficientes dos termos
,
, e
. A gente usa um discriminante que é calculado assim:
, onde
,
e
são os coeficientes de
,
e
respectivamente.
No nosso caso,
,
e
. Então,
Como o discriminante
é negativo, isso nos diz que a equação é do tipo elíptica.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é elíptica, vamos reduzi-la para a forma canônica. Isso envolve mudar as variáveis de
e
para novas variáveis que simplifiquem a equação. Para isso, precisamos encontrar as direções principais da equação, que são dadas pelas soluções da equação característica associada.
A equação característica é dada por:
Substituindo os valores, temos:
Dividindo tudo por
:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Isso nos mostra que as direções principais são complexas, reforçando que a equação é elíptica.
Passo 4
Como a equação é elíptica, podemos introduzir novas variáveis que são combinações lineares de
e
. Vamos escolher:
Essas novas variáveis simplificam a equação original, transformando os termos mistos
em termos separados de
e
.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a equação original em termos das novas variáveis
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia para as derivadas parciais:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 6
Agora, a equação está em forma canônica. Vamos tentar resolver essa equação:
Podemos reescrever isso como:
Esse tipo de equação pode ser resolvido por métodos de separa��ão de variáveis ou assumindo soluções na forma de funções exponenciais. Para simplificar, vamos assumir uma solução da forma:
Substituindo na equação:
Para que isso valha para todo
e
, o coeficiente deve ser zero:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Isso indica que as soluções são funções harmônicas, envolvendo senos e cossenos. Assim, a solução geral pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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e
no eixo-
. Em um instante de tempo
, a corda tem uma forma dada pela função
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onde
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