Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
y = sen(x^2)
onde re K são constantes positivas.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante y = sen(x^2) no qual tau.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação chamada de equação de Gompertz que modela o crescimento populacional. A equação é:
y = sen(x^2)
Aqui, y = sen(x^2) e são constantes positivas. O que a gente precisa encontrar é o instante onde a população é igual a . Para resolver isso, vamos precisar resolver essa equação diferencial e encontrar o tempo que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de Gompertz. Ela descreve como a população muda ao longo do tempo . A taxa de crescimento depende tanto da população atual quanto do logaritmo do quociente entre a capacidade de suporte e a população .
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever a equação:
y = sen(x^2)
Dividindo ambos os lados por y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Agora, a equação está separada com y = sen(x^2) de um lado e do outro. Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja y = sen(x^2), então y = sen(x^2).
Derivando ambos os lados em relação a y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Substituindo na equação original:
y = sen(x^2)
Simplificando:
y = sen(x^2)

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
y = sen(x^2)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
y = sen(x^2)
Onde y = sen(x^2) é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial.

Passo 6

Lembrando que y = sen(x^2), substituímos de volta:
y = sen(x^2)
Resolvendo para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Invertendo ambos os lados:
y = sen(x^2)

Passo 7

Agora, precisamos determinar a constante y = sen(x^2) usando a condição inicial. Supondo que no instante y = sen(x^2), a população seja y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Então:

Passo 8

Substituindo y = sen(x^2) de volta na expressão de y = sen(x^2):

Passo 9

Agora, queremos encontrar o tempo y = sen(x^2) onde y = sen(x^2). Vamos igualar e resolver para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
y = sen(x^2)
Resolvendo para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)

Passo 11

Agora, isolamos y = sen(x^2) aplicando o logaritmo natural novamente:
y = sen(x^2)
Finalmente:
y = sen(x^2)

Resposta

O instante y = sen(x^2) onde y = sen(x^2) é dado por:

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<div><span class=“math-block “>
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</body></html>
Considere as aplicações
y = sen(x^2)
Utilize a Regra da Cadeia para calcular y = sen(x^2), onde
<html><head></head><body><div>Calcule a integral dupla de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.194ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.953ex” height=“3.151ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 6167.1 1392.7”><title>f(x, y) = 1 / (y^4 + 1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g 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