Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde re K são constantes positivas.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante
no qual
.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação chamada de equação de Gompertz que modela o crescimento populacional. A equação é:
Aqui,
e
são constantes positivas. O que a gente precisa encontrar é o instante
onde a população
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar resolver essa equação diferencial e encontrar o tempo
que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de Gompertz. Ela descreve como a população
muda ao longo do tempo
. A taxa de crescimento depende tanto da população atual quanto do logaritmo do quociente entre a capacidade de suporte
e a população
.
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos reescrever a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está separada com
de um lado e
do outro. Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja
, então
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Onde
é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial.
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resolvendo para
:
Invertendo ambos os lados:
Passo 7
Agora, precisamos determinar a constante
usando a condição inicial. Supondo que no instante
, a população seja
:
Então:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 9
Agora, queremos encontrar o tempo
onde
. Vamos igualar e resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora, isolamos
aplicando o logaritmo natural novamente:
Finalmente:
Resposta
O instante
onde
é dado por: