Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
d y / d t = r y ln(K / y)
onde re K são constantes positivas.
Para os mesmos dados do item anterior, determine o instante tau no qual y(tau) = 3 K / 4.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação chamada de equação de Gompertz que modela o crescimento populacional. A equação é:
Aqui, e são constantes positivas. O que a gente precisa encontrar é o instante onde a população é igual a . Para resolver isso, vamos precisar resolver essa equação diferencial e encontrar o tempo que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de Gompertz. Ela descreve como a população muda ao longo do tempo . A taxa de crescimento depende tanto da população atual quanto do logaritmo do quociente entre a capacidade de suporte e a população .
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, a equação está separada com de um lado e do outro. Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então .
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Onde é a constante de integração, que podemos encontrar usando a condição inicial.

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Resolvendo para :
Invertendo ambos os lados:

Passo 7

Agora, precisamos determinar a constante usando a condição inicial. Supondo que no instante , a população seja :
Então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 9

Agora, queremos encontrar o tempo onde . Vamos igualar e resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 11

Agora, isolamos aplicando o logaritmo natural novamente:
Finalmente:

Resposta

O instante onde é dado por:

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