Calcule a integral dupla de f(x, y) = 1 / (y^4 + 1) sobre a região R = {(x, y) em R^2 ; 0 <= x <= 8} e raiz(3)(x) <= y <= 2 Esboce a região R .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular uma integral dupla da função sobre uma região definida por e . Isso envolve integração em duas dimensões, ou seja, em relação a e . Para resolver, vamos identificar os limites de integração e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Vamos esboçar a região para visualizar melhor. A região está limitada por entre 0 e 8, e entre e 2. A curva é a raiz cúbica de , que passa por (0,0) e cresce suavemente. Já é uma linha horizontal. Então, nossa região fica acima de e abaixo de , entre e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, onde integramos primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Aqui, fica mais fácil integrar primeiro em , já que os limites de são funções simples de .
Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é a integral em :
Para integrar , podemos usar substituição ou reconhecer que a antiderivada dessa função envolve funções arctan e arctanh. No entanto, para simplificar, vamos considerar que essa integral pode ser representada por uma função primitiva .
Então, a integral interna se torna:

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna de volta na integral dupla:
Isso se divide em duas integrais:
A primeira integral é simples:
A segunda integral envolve , o que pode ser complicado sem uma expressão explícita para . Dependendo do nível do curso, pode ser necessário usar métodos numéricos ou tabelas de integrais para prosseguir.

Passo 6

Para finalizar, se assumirmos que conseguimos expressar , substituímos os valores e calculamos as integrais. Caso contrário, a resposta pode ser deixada em termos de , ou usamos aproximações numéricas para obter um valor final.

Resposta

A integral dupla de sobre a região é igual a , onde é a antiderivada de .

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