Calcule a integral dupla de
sobre a região
e
Esboce a região R .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular uma integral dupla da função
sobre uma região
definida por
e
. Isso envolve integração em duas dimensões, ou seja, em relação a
e
. Para resolver, vamos identificar os limites de integração e depois integrar passo a passo.
Passo 2
Vamos esboçar a região
para visualizar melhor. A região está limitada por
entre 0 e 8, e
entre
e 2. A curva
é a raiz cúbica de
, que passa por (0,0) e cresce suavemente. Já
é uma linha horizontal. Então, nossa região
fica acima de
e abaixo de
, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, onde integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Aqui, fica mais fácil integrar primeiro em
, já que os limites de
são funções simples de
.
Então, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é a integral em
:
Para integrar
, podemos usar substituição ou reconhecer que a antiderivada dessa função envolve funções arctan e arctanh. No entanto, para simplificar, vamos considerar que essa integral pode ser representada por uma função primitiva
.
Então, a integral interna se torna:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna de volta na integral dupla:
Isso se divide em duas integrais:
A primeira integral é simples:
A segunda integral envolve
, o que pode ser complicado sem uma expressão explícita para
. Dependendo do nível do curso, pode ser necessário usar métodos numéricos ou tabelas de integrais para prosseguir.
Passo 6
Para finalizar, se assumirmos que conseguimos expressar
, substituímos os valores e calculamos as integrais. Caso contrário, a resposta pode ser deixada em termos de
, ou usamos aproximações numéricas para obter um valor final.
Resposta
A integral dupla de
sobre a região
é igual a
, onde
é a antiderivada de
.