Considere as aplicações
g(u, v)=(2 uu^2+v^2+1, 2 vu^2+v^2+1, u^2+v^2-1u^2+v^2+1) e f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
Utilize a Regra da Cadeia para calcular partial hpartial u, onde h(u, v)=f circ g(u, v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a derivada parcial de em relação a , usando a Regra da Cadeia. Estamos trabalhando com funções vetoriais e funções de várias variáveis, então vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a Regra da Cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
  • A função g(u, v) = ( 2uu^2 + v^2 + 1, 2vu^2 + v^2 + 1, u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 ) mapeia f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 para um vetor tridimensional:
  • A função leva para um número real:
Queremos compor essas funções para formar .

Passo 3

Vamos escrever explicitamente a composição h(u, v) = f( 2uu^2 + v^2 + 1, 2vu^2 + v^2 + 1, u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 ) :
h(u, v) = ( 2uu^2 + v^2 + 1 )^2 + ( 2vu^2 + v^2 + 1 )^2 + ( u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 )^2
Substituindo na função :

Passo 4

Para calcular partial hpartial u = partial fpartial x cdot partial g1partial u + partial fpartial y cdot partial g2partial u + partial fpartial z cdot partial g3partial u , vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções compostas. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada parcial de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a cada componente de , multiplicadas pelas derivadas parciais dessas componentes em relação a .
Matematicamente:

Passo 5

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = 2y, partial fpartial z = 2z :
partial fpartial x = 2 cdot 2uu^2 + v^2 + 1, partial fpartial y = 2 cdot 2vu^2 + v^2 + 1, partial fpartial z = 2 cdot u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1
Agora, substituímos nessas derivadas:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de partial g1partial u = 2(u^2 + v^2 + 1) - 2u cdot 2u(u^2 + v^2 + 1)^2 = 2(u^2 + v^2 + 1 - 2u^2)(u^2 + v^2 + 1)^2 = 2(-u^2 + v^2 + 1)(u^2 + v^2 + 1)^2 em relação a partial g2partial u = 0 cdot (u^2 + v^2 + 1) - 2v cdot 2u(u^2 + v^2 + 1)^2 = -4u v(u^2 + v^2 + 1)^2 :
Para partial g3partial u = 2u(u^2 + v^2 + 1) - (u^2 + v^2 - 1) cdot 2u(u^2 + v^2 + 1)^2 = 2u(u^2 + v^2 + 1 - u^2 - v^2 + 1)(u^2 + v^2 + 1)^2 = 4u(u^2 + v^2 + 1)^2 :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
partial hpartial u = (2 cdot 2uu^2 + v^2 + 1) cdot 2(-u^2 + v^2 + 1)(u^2 + v^2 + 1)^2 + (2 cdot 2vu^2 + v^2 + 1) cdot -4u v(u^2 + v^2 + 1)^2 + (2 cdot u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1) cdot 4u(u^2 + v^2 + 1)^2

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
2 cdot 2uu^2 + v^2 + 1 cdot 2(-u^2 + v^2 + 1)(u^2 + v^2 + 1)^2 = 8u(-u^2 + v^2 + 1)(u^2 + v^2 + 1)^3
  1. Segundo termo:
2 cdot 2vu^2 + v^2 + 1 cdot -4u v(u^2 + v^2 + 1)^2 = -16u v^2(u^2 + v^2 + 1)^3
  1. Terceiro termo:
2 cdot u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 cdot 4u(u^2 + v^2 + 1)^2 = 8u(u^2 + v^2 - 1)(u^2 + v^2 + 1)^3

Passo 9

Agora, somamos todos os termos:
partial hpartial u = 8u(-u^2 + v^2 + 1) - 16u v^2 + 8u(u^2 + v^2 - 1)(u^2 + v^2 + 1)^3
Simplificando o numerador:
8u(-u^2 + v^2 + 1) + 8u(u^2 + v^2 - 1) - 16u v^2 = 8u(-u^2 + v^2 + 1 + u^2 + v^2 - 1) - 16u v^2 = 8u(2v^2) - 16u v^2 = 16u v^2 - 16u v^2 = 0

Resposta

partial hpartial u = 0

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