Considere as aplicações
Utilize a Regra da Cadeia para calcular
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a derivada parcial de
em relação a
, usando a Regra da Cadeia. Estamos trabalhando com funções vetoriais e funções de várias variáveis, então vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e a Regra da Cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
-
A função
mapeia para um vetor tridimensional: -
A função
leva para um número real:
Queremos compor essas funções para formar
.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente a composição
:
Substituindo na função
:
Passo 4
Para calcular
, vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções compostas. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada parcial de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada componente de
, multiplicadas pelas derivadas parciais dessas componentes em relação a
.
Matematicamente:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Agora, substituímos
nessas derivadas:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de
em relação a
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 9
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando o numerador:
Resposta
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.
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.
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e
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, sendo:
e
e
(Identifique as superfícies que limitam o sólido ).
(Identifique as superfícies que limitam o sólido