A equação do movimento de uma partícula é dada por
, sendo
dada em metros e
em segundos. Determine:
(a) o instante em que a velocidade é de
.
(b) a aceleração da partícula quando
.
(a) o instante em que a velocidade é de
(b) a aceleração da partícula quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de movimento de uma partícula:
. Aqui,
está em metros e
em segundos. Vamos precisar usar cálculo diferencial para achar a velocidade e a aceleração dessa partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos derivar
para achar a velocidade
.
A função
. Usando a regra da potência, a derivada é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o instante
em que a velocidade
é
m/s. Vamos igualar a expressão da velocidade a
:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por 3:
Em seguida, tiramos o inverso para facilitar:
Passo 5
Elevando ambos os lados ao poder
para eliminar o expoente:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Subtraindo 2 de ambos os lados para encontrar
:
Passo 7
Agora, para achar a aceleração, precisamos derivar a velocidade
em relação ao tempo. A aceleração
é a derivada da velocidade.
Passo 8
Queremos a aceleração quando
segundos. Substituindo:
Passo 9
Calculando
:
Mas para simplificar, sabemos que
, então:
Passo 10
Então:
Passo 11
Calculando numérico aproximado:
Sabemos que
, então:
Resposta
(b) A aceleração da partícula quando
s é aproximadamente
.