A equação do movimento de uma partícula é dada por , sendo dada em metros e em segundos. Determine:
(a) o instante em que a velocidade é de .
(b) a aceleração da partícula quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de movimento de uma partícula: . Aqui, está em metros e em segundos. Vamos precisar usar cálculo diferencial para achar a velocidade e a aceleração dessa partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos derivar para achar a velocidade .
A função . Usando a regra da potência, a derivada é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o instante em que a velocidade é m/s. Vamos igualar a expressão da velocidade a :

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por 3:
Em seguida, tiramos o inverso para facilitar:

Passo 5

Elevando ambos os lados ao poder para eliminar o expoente:
Sabemos que , então:

Passo 6

Subtraindo 2 de ambos os lados para encontrar :

Passo 7

Agora, para achar a aceleração, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 8

Queremos a aceleração quando segundos. Substituindo:

Passo 9

Calculando :
Mas para simplificar, sabemos que , então:

Passo 10

Então:

Passo 11

Calculando numérico aproximado:
Sabemos que , então:

Resposta

(b) A aceleração da partícula quando s é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto .
Calcule , sendo uma função diferenciável dada implicitamente pelas equações abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
Desafio: Ao meio-dia o barco está a 64 km a oeste do barco . O barco navega para leste a e o barco navega para o norte a . Qual é a taxa de variação da distância entre os barcos às ?
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
(a)
(b)
©
(d) .
(e) .