Desafio: Ao meio-dia o barco
está a 64 km a oeste do barco
. O barco
navega para leste a
e o barco
navega para o norte a
. Qual é a taxa de variação da distância entre os barcos às
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! A gente tem dois barcos, o A e o B. Ao meio-dia, o barco A está a 64 km a oeste do barco B. A partir daí, o barco A começa a navegar para leste a uma velocidade de 20 km/h, e o barco B vai para o norte a 25 km/h. Queremos descobrir quão rápido a distância entre eles está mudando às 13:12 h. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tempo
como o tempo que passou desde o meio-dia, em horas. Então, às 13:12 h,
hora e
minutos, que é igual a
horas.
Passo 3
Agora, vamos determinar a posição de cada barco em relação ao ponto inicial (onde o barco B estava ao meio-dia).
-
Barco A: Ele está se movendo para leste a 20 km/h. A posição leste-oeste dele em relação ao ponto inicial é dada por:O negativo indica que ele começa 64 km a oeste.
-
Barco B: Ele está se movendo para o norte a 25 km/h. A posição norte-sul dele em relação ao ponto inicial é:
Passo 4
A distância entre os dois barcos em qualquer momento
pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras, já que eles estão se movendo em direções perpendiculares (leste e norte). A fórmula para a distância
é:
Passo 5
Queremos descobrir a taxa de variação dessa distância, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo,
. Vamos derivar a expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
horas na equação para encontrar a taxa de variação da distância às 13:12 h.
Primeiro, calculamos
e
:
Passo 7
Substituindo esses valores na derivada:
Resposta
Às 13:12 h, a distância entre os barcos está diminuindo a uma taxa de
km/h.
Exercícios relacionados
A equação do movimento de uma partícula é dada por
, sendo
dada em metros e
em segundos. Determine:
(a) o instante em que a velocidade é de .
(b) a aceleração da partícula quando .
(a) o instante em que a velocidade é de
(b) a aceleração da partícula quando
Suponha que
seja uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto
.
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
(a)
(b)
©
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Considere a função
:
(a) Determine a constante de modo que
tenha um mínimo local em
.
(b) Determine a constante de modo que
tenha um mínimo local em
.
© Mostre que não terá máximo local para nenhum valor de
.
(a) Determine a constante
(b) Determine a constante
© Mostre que