Desafio: Ao meio-dia o barco está a 64 km a oeste do barco . O barco navega para leste a e o barco navega para o norte a . Qual é a taxa de variação da distância entre os barcos às ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! A gente tem dois barcos, o A e o B. Ao meio-dia, o barco A está a 64 km a oeste do barco B. A partir daí, o barco A começa a navegar para leste a uma velocidade de 20 km/h, e o barco B vai para o norte a 25 km/h. Queremos descobrir quão rápido a distância entre eles está mudando às 13:12 h. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tempo como o tempo que passou desde o meio-dia, em horas. Então, às 13:12 h, hora e minutos, que é igual a horas.

Passo 3

Agora, vamos determinar a posição de cada barco em relação ao ponto inicial (onde o barco B estava ao meio-dia).
  • Barco A: Ele está se movendo para leste a 20 km/h. A posição leste-oeste dele em relação ao ponto inicial é dada por:
    O negativo indica que ele começa 64 km a oeste.
  • Barco B: Ele está se movendo para o norte a 25 km/h. A posição norte-sul dele em relação ao ponto inicial é:

Passo 4

A distância entre os dois barcos em qualquer momento pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras, já que eles estão se movendo em direções perpendiculares (leste e norte). A fórmula para a distância é:

Passo 5

Queremos descobrir a taxa de variação dessa distância, ou seja, a derivada de em relação ao tempo, . Vamos derivar a expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir horas na equação para encontrar a taxa de variação da distância às 13:12 h.
Primeiro, calculamos e :

Passo 7

Substituindo esses valores na derivada:

Resposta

Às 13:12 h, a distância entre os barcos está diminuindo a uma taxa de km/h.

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(a) o instante em que a velocidade é de .
(b) a aceleração da partícula quando .
Suponha que seja uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto .
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
(a)
(b)
©
(d) .
(e) .
Considere a função :
(a) Determine a constante de modo que tenha um mínimo local em .
(b) Determine a constante de modo que tenha um mínimo local em .
© Mostre que não terá máximo local para nenhum valor de .