Suponha que seja uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que está definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo é encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar a inclinação das retas tangente e normal quando a função não está resolvida explicitamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada usando a diferenciação implícita. Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
Passo 3
Vamos derivar termo a termo:
Para , usamos a regra da cadeia:
Para , também usamos a regra da cadeia:
Para , a derivada é direta:
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação original:
Passo 5
Agora, vamos isolar :
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 7
Com a inclinação da tangente , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e :
Passo 8
A reta normal tem inclinação que é o negativo do inverso de :
Usando novamente a forma ponto-inclinação:
Resposta
A equação da reta tangente no ponto é e a equação da reta normal é .