Suponha que y = y(x) seja uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
y^6 - (x + y)^2 + 3 x^2 = 0
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto (0, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que está definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo é encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar a inclinação das retas tangente e normal quando a função não está resolvida explicitamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada usando a diferenciação implícita. Vamos derivar cada termo da equação em relação a :

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  1. Para , também usamos a regra da cadeia:
  1. Para , a derivada é direta:

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação original:

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 7

Com a inclinação da tangente , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e :

Passo 8

A reta normal tem inclinação que é o negativo do inverso de :
Usando novamente a forma ponto-inclinação:

Resposta

A equação da reta tangente no ponto é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados