Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
(a)
(b)
©
(d) .
(e) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente encontrando a derivada de cada função. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Parte (a):

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função.
Derivada:

Passo 3

Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :

Passo 4

Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :

Passo 5

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente em: e
  • Decrescente em: e

Passo 6

Parte (b):

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função.
Derivada:

Passo 7

Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Calculando o discriminante:
Como , não há raízes reais. Portanto, a derivada nunca é zero.

Passo 8

Analisar o sinal da derivada:
Como a derivada é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo e sem raízes reais, ela é sempre positiva.

Passo 9

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente em:
  • Decrescente em: Nenhum intervalo.

Passo 10

Parte ©:

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função usando a regra do quociente.
Derivada:

Passo 11

Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Além disso, a derivada é indefinida quando .

Passo 12

Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
Os pontos críticos dividem a reta real em três intervalos: , , , e .
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :

Passo 13

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente em: e
  • Decrescente em: e

Passo 14

Parte (d):

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função usando a regra do produto.
Derivada:

Passo 15

Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Como nunca é zero, temos:

Passo 16

Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
Os pontos críticos dividem a reta real em dois intervalos: e .
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :

Passo 17

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente em:
  • Decrescente em:

Passo 18

Parte (e):

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função usando a regra da cadeia.
Derivada:

Passo 19

Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Como o denominador para todo , não há outros pontos críticos.

Passo 20

Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
Os pontos críticos dividem a reta real em dois intervalos: e .
  • Para :
    Escolha :
  • Para :
    Escolha :

Passo 21

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente em:
  • Decrescente em:

Resposta

Para a função :
  • Intervalo de Crescimento:
  • Intervalo de Decrescimento:

Resumo Final

Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento das funções:
a)
  • Crescente em: e
  • Decrescente em: e
b)
  • Crescente em:
  • Decrescente em: Nenhum intervalo
c)
  • Crescente em: e
  • Decrescente em: e
d)
  • Crescente em:
  • Decrescente em:
e)
  • Crescente em:
  • Decrescente em:

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(b) Determine a constante de modo que tenha um mínimo local em .
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