Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
(a)
(b)
©
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente encontrando a derivada de cada função. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de aumento ou diminuição.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função.
Derivada:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Passo 4
Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
-
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha:
Passo 5
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente em:
e - Decrescente em:
e
Passo 6
Parte (b):
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função.
Derivada:
Passo 7
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Calculando o discriminante:
Como
, não há raízes reais. Portanto, a derivada nunca é zero.
Passo 8
Analisar o sinal da derivada:
Como a derivada é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo e sem raízes reais, ela é sempre positiva.
Como a derivada
Passo 9
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente em:
- Decrescente em: Nenhum intervalo.
Passo 10
Parte ©:
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função usando a regra do quociente.
Derivada:
Passo 11
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Além disso, a derivada é indefinida quando
.
Passo 12
Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
Os pontos críticos dividem a reta real em três intervalos:
,
,
, e
.
-
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha:
Passo 13
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente em:
e - Decrescente em:
e
Passo 14
Parte (d):
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função usando a regra do produto.
Derivada:
Passo 15
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Como
nunca é zero, temos:
Passo 16
Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
Os pontos críticos dividem a reta real em dois intervalos:
e
.
-
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha:
Passo 17
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente em:
- Decrescente em:
Passo 18
Parte (e):
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função usando a regra da cadeia.
Derivada:
Passo 19
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Como o denominador
para todo
, não há outros pontos críticos.
Passo 20
Analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados:
Os pontos críticos dividem a reta real em dois intervalos:
e
.
-
Para
:
Escolha: -
Para
:
Escolha:
Passo 21
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente em:
- Decrescente em:
Resposta
Para a função
:
- Intervalo de Crescimento:
- Intervalo de Decrescimento:
Resumo Final
Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento das funções:
a)
- Crescente em:
e - Decrescente em:
e
b)
- Crescente em:
- Decrescente em: Nenhum intervalo
c)
- Crescente em:
e - Decrescente em:
e
d)
- Crescente em:
- Decrescente em:
e)
- Crescente em:
- Decrescente em: