Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
x u_xy - y u_yy = 0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial:
O conteúdo envolvido é equações diferenciais parciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar reduzir essa equação à forma canônica, o que nos ajuda a identificar o tipo da equação e encontrar suas soluções mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral de segunda ordem:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
  • (coeficiente de )
  • então (coeficiente de )
  • (coeficiente de )

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da equação, que é :
Dependendo do sinal de , a equação pode ser:
  • Elíptica se
  • Hipérbólica se
  • Parabólica se
No nosso caso, como , que é sempre positivo exceto quando , a equação é hipérbólica.

Passo 4

Para reduzir a equação à forma canônica, precisamos encontrar as características da equação hiperbólica. As características são as curvas nas quais a equação se comporta de forma especial e facilitam a solução.
As características são encontradas resolvendo a equação:
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Ou:
Dividindo por :
Resolvendo a equação diferencial:
Integrando:
onde é uma constante.

Passo 5

Com as características encontradas, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a equação. Vamos definir:
Agora, expressamos as derivadas de em termos de e :
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, a equação simplificada é:
Podemos reorganizar para:
Isso nos leva a uma equação diferencial ordinária em relação a , onde é função de e . Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de integração.

Passo 7

Considerando que , a solução geral da equação pode ser expressa como:
onde e são funções arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são funções arbitrárias.

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u_xx - 2 u_xy + u_yy = 0
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Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
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Equação da Onda. Uma corda de comprimento L é esticada entre os pontos (0,0) e (L, 0) no eixo- x. Em um instante de tempo t=0, a corda tem uma forma dada pela função f(x), 0 e é liberada do repouso. Mostre que o deslocamento da corda em um instante de tempo qualquer t é dado por:
y(x, t)=summ=1^infty(2L integral0^L f(x) sin m pi xL d x) sin m pi xL cos m pi v tL
onde v é a velocidade da onda na corda.