Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial:
O conteúdo envolvido é equações diferenciais parciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar reduzir essa equação à forma canônica, o que nos ajuda a identificar o tipo da equação e encontrar suas soluções mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral de segunda ordem:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
-
(coeficiente de ) -
então (coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante da equação, que é
:
Dependendo do sinal de
, a equação pode ser:
- Elíptica se
- Hipérbólica se
- Parabólica se
No nosso caso, como
, que é sempre positivo exceto quando
, a equação é hipérbólica.
Passo 4
Para reduzir a equação à forma canônica, precisamos encontrar as características da equação hiperbólica. As características são as curvas nas quais a equação se comporta de forma especial e facilitam a solução.
As características são encontradas resolvendo a equação:
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Ou:
Dividindo por
:
Resolvendo a equação diferencial:
Integrando:
onde
é uma constante.
Passo 5
Com as características encontradas, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a equação. Vamos definir:
Agora, expressamos as derivadas de
em termos de
e
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a equação simplificada é:
Podemos reorganizar para:
Isso nos leva a uma equação diferencial ordinária em relação a
, onde
é função de
e
. Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de integração.
Passo 7
Considerando que
, a solução geral da equação pode ser expressa como:
onde
e
são funções arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são funções arbitrárias.
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Equação da Onda. Uma corda de comprimento
é esticada entre os pontos
e
no eixo-
. Em um instante de tempo
, a corda tem uma forma dada pela função
e é liberada do repouso. Mostre que o deslocamento da corda em um instante de tempo qualquer
é dado por:
onde
é a velocidade da onda na corda.