A região esférica isolante definida por , na qual é a distância a partir do centro da região, possui uma densidade de carga, por unidade de volume, dada por , sendo uma constante positiva. No centro existe uma carga puntiforme . Qual deve ser o valor de para que o campo elétrico na região tenha intensidade constante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma região esférica isolante entre os raios e ( ), onde é a distância do centro. Nessa região, a densidade de carga por unidade de volume é dada por , sendo uma constante positiva. Além disso, no centro ( ), há uma carga puntiforme .
O objetivo é descobrir qual o valor de para que o campo elétrico nessa região ( ) seja constante, ou seja, não varie com a distância .
Vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Isso vai nos ajudar a calcular o campo elétrico .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Lei de Gauss funciona. Ela é dada por:
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície fechada.
  • é a carga total dentro da superfície.
  • é a permissividade do vácuo.
Como estamos lidando com uma distribuiç��o esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio , onde . Isso simplifica nossos cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial.

Passo 3

Vamos calcular a carga total dentro da nossa superfície gaussiana de raio . Essa carga inclui a carga puntiforme no centro e a carga distribuída na região interna à esfera de raio .
A densidade de carga é . Para encontrar a carga distribuída, precisamos integrar sobre o volume:
í
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é:

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Isolando :

Passo 5

Queremos que o campo elétrico seja constante na região . Isso significa que a parte que depende de deve desaparecer. Ou seja, o termo que varia com , que é , precisa ser igual a zero ou compensado.
Para que seja constante, o termo deve ser constante. Porém, isso só é possível se . Como no enunciado é uma carga pontual , ele não pode ser zero. Então, precisamos ajustar de outra forma.
A única maneira de ser constante é se o termo dependente de for compensado pelo outro termo. Porém, isso não é diretamente possível a menos que ajustemos de forma que o campo devido à distribuição de carga neutralize a variação do campo devido a .
Vamos rearranjar a expressão:
Para ser constante, a derivada em relação a deve ser zero:
Isso implica que:
Mas isso só é verdade se , o que não é o caso. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos pensar de outra maneira. Queremos que o campo elétrico total seja constante, digamos . Então, podemos igualar a expressão de a essa constante e resolver para :
Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :
Mas lembrando que é constante, temos que essa equação deve valer para todo na região . Isso só é possível se também for constante, o que não acontece a menos que .
Portanto, parece que há uma inconsistência e precisamos revisar nossos cálculos.

Passo 7

Vamos retornar ao início e reconsiderar a integração da densidade de carga. Talvez tenhamos cometido um erro na integração.
A densidade de carga é , então a carga distribuída dentro de uma esfera de raio é:
í
Parece que a integração está correta. Então, a expressão para o campo elétrico também está correta:
Para ser constante, o termo que varia com ( ) precisa ser cancelado ou compensado. A única forma de fazer isso é ajustando para que a soma dos dois termos seja constante.

Passo 8

Vamos definir como constante e igualar a expressão:
Rearranjando para :
Multiplicando ambos os lados por :
Como é constante, a única maneira de essa equação ser verdadeira para todo em é se o termo que depende de for igual a zero:
Isso contradiz o enunciado que afirma que é uma carga puntiforme . Portanto, não é possível que o campo elétrico seja constante nessa região a menos que . Parece que houve um equívoco no enunciado ou na abordagem inicial.

Resposta

Não é possível determinar um valor finito para que torne o campo elétrico constante na região quando existe uma carga pontual no centro. Isso ocorre porque a contribuição do campo devido a depende de de forma que não pode ser compensada por uma distribuição de carga com densidade para manter constante em toda a região.

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