A região esférica isolante definida por
, na qual
é a distância a partir do centro da região, possui uma densidade de carga, por unidade de volume, dada por
, sendo
uma constante positiva. No centro
existe uma carga puntiforme
. Qual deve ser o valor de
para que o campo elétrico na região
tenha intensidade constante?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma região esférica isolante entre os raios
e
(
), onde
é a distância do centro. Nessa região, a densidade de carga por unidade de volume é dada por
, sendo
uma constante positiva. Além disso, no centro (
), há uma carga puntiforme
.
O objetivo é descobrir qual o valor de
para que o campo elétrico nessa região (
) seja constante, ou seja, não varie com a distância
.
Vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Isso vai nos ajudar a calcular o campo elétrico
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a Lei de Gauss funciona. Ela é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento de área da superfície fechada. -
é a carga total dentro da superfície. -
é a permissividade do vácuo.
Como estamos lidando com uma distribuiç��o esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
, onde
. Isso simplifica nossos cálculos porque o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial.
Passo 3
Vamos calcular a carga total
dentro da nossa superfície gaussiana de raio
. Essa carga inclui a carga puntiforme no centro
e a carga distribuída na região interna à esfera de raio
.
A densidade de carga é
. Para encontrar a carga distribuída, precisamos integrar
sobre o volume:
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Isolando
:
Passo 5
Queremos que o campo elétrico
seja constante na região
. Isso significa que a parte que depende de
deve desaparecer. Ou seja, o termo que varia com
, que é
, precisa ser igual a zero ou compensado.
Para que
seja constante, o termo
deve ser constante. Porém, isso só é possível se
. Como no enunciado
é uma carga pontual
, ele não pode ser zero. Então, precisamos ajustar de outra forma.
A única maneira de
ser constante é se o termo dependente de
for compensado pelo outro termo. Porém, isso não é diretamente possível a menos que ajustemos
de forma que o campo devido à distribuição de carga neutralize a variação do campo devido a
.
Vamos rearranjar a expressão:
Para
ser constante, a derivada em relação a
deve ser zero:
Isso implica que:
Mas isso só é verdade se
, o que não é o caso. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos pensar de outra maneira. Queremos que o campo elétrico total
seja constante, digamos
. Então, podemos igualar a expressão de
a essa constante e resolver para
:
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas lembrando que
é constante, temos que essa equação deve valer para todo
na região
. Isso só é possível se
também for constante, o que não acontece a menos que
.
Portanto, parece que há uma inconsistência e precisamos revisar nossos cálculos.
Passo 7
Vamos retornar ao início e reconsiderar a integração da densidade de carga. Talvez tenhamos cometido um erro na integração.
A densidade de carga é
, então a carga distribuída dentro de uma esfera de raio
é:
Parece que a integração está correta. Então, a expressão para o campo elétrico também está correta:
Para
ser constante, o termo que varia com
(
) precisa ser cancelado ou compensado. A única forma de fazer isso é ajustando
para que a soma dos dois termos seja constante.
Passo 8
Vamos definir
como constante e igualar a expressão:
Rearranjando para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
é constante, a única maneira de essa equação ser verdadeira para todo
em
é se o termo que depende de
for igual a zero:
Isso contradiz o enunciado que afirma que
é uma carga puntiforme
. Portanto, não é possível que o campo elétrico seja constante nessa região a menos que
. Parece que houve um equívoco no enunciado ou na abordagem inicial.
Resposta
Não é possível determinar um valor finito para
que torne o campo elétrico constante na região
quando existe uma carga pontual
no centro. Isso ocorre porque a contribuição do campo devido a
depende de
de forma que não pode ser compensada por uma distribuição de carga com densidade
para manter
constante em toda a região.
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.
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