A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y=6.sen(0,02.π.x+4.π.t), onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula na corda e o sentido de propagação da onda.
A) 45 cm/s e sentido negativo do eixo x
B) 75 cm/s e sentido negativo do eixo x
C) 60 cm/s e sentido positivo do eixo x
D) 50 cm/s e sentido positivo do eixo x
E) 55 cm/s e sentido negativo do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas transversais! A gente tem uma equação que descreve como uma onda se propaga em uma corda bem longa. A matéria que vamos usar aqui é Ondas Transversais, especificamente como calcular a velocidade máxima de uma partícula na corda e determinar o sentido de propagação da onda. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a equação das ondas e como derivar funções em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação da onda que foi dada:
y = 6 cdot sin(0,02 pi x + 4 pi t)
Aqui, $ y $ é a posição vertical da corda em centímetros, $ x $ é a posição horizontal em centímetros, e $ t $ é o tempo em segundos.

Passo 3

Para encontrar a velocidade transversal máxima, precisamos derivar a posição $ y $ em relação ao tempo $ t $. Isso porque a velocidade é a taxa de variação da posição.
Então, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
y
Aqui, usei a regra da cadeia para derivar a função seno.

Passo 4

A velocidade máxima ocorre quando o cosseno atinge seu valor máximo, que é 1. Então, a velocidade transversal máxima é:
vymáx = 6 cdot 4 pi = 24 pi á
Agora, vamos calcular o valor numérico:
24 pi approx 75,4 , cm/s
Arredondando, fica 75 cm/s.

Passo 5

Agora, vamos determinar o sentido de propagação da onda. A equação geral de uma onda é:
y(x, t) = A cdot sin(kx pm omega t)
- Se o sinal entre $ kx $ e $ \omega t $ for negativo, a onda se propaga na direção positiva do eixo $ x $.
- Se for positivo, a onda se propaga na direção negativa do eixo $ x $.
No nosso caso, a equação é:
kx
O sinal entre $ x $ e $ t $ é positivo, então a onda está se movendo na direção negativa do eixo $ x $.

Resposta

B) 75 cm/s e sentido negativo do eixo x

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