A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y=6.sen(0,02.π.x+4.π.t), onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula na corda e o sentido de propagação da onda.
A) 45 cm/s e sentido negativo do eixo x
B) 75 cm/s e sentido negativo do eixo x
C) 60 cm/s e sentido positivo do eixo x
D) 50 cm/s e sentido positivo do eixo x
E) 55 cm/s e sentido negativo do eixo x
A) 45 cm/s e sentido negativo do eixo x
B) 75 cm/s e sentido negativo do eixo x
C) 60 cm/s e sentido positivo do eixo x
D) 50 cm/s e sentido positivo do eixo x
E) 55 cm/s e sentido negativo do eixo x
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas transversais! A gente tem uma equação que descreve como uma onda se propaga em uma corda bem longa. A matéria que vamos usar aqui é Ondas Transversais, especificamente como calcular a velocidade máxima de uma partícula na corda e determinar o sentido de propagação da onda. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a equação das ondas e como derivar funções em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação da onda que foi dada:
Aqui, $ y $ é a posição vertical da corda em centímetros, $ x $ é a posição horizontal em centímetros, e $ t $ é o tempo em segundos.
Passo 3
Para encontrar a velocidade transversal máxima, precisamos derivar a posição $ y $ em relação ao tempo $ t $. Isso porque a velocidade é a taxa de variação da posição.
Então, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Aqui, usei a regra da cadeia para derivar a função seno.
Passo 4
A velocidade máxima ocorre quando o cosseno atinge seu valor máximo, que é 1. Então, a velocidade transversal máxima é:
Agora, vamos calcular o valor numérico:
Arredondando, fica 75 cm/s.
Passo 5
Agora, vamos determinar o sentido de propagação da onda. A equação geral de uma onda é:
- Se o sinal entre $ kx $ e $ \omega t $ for negativo, a onda se propaga na direção positiva do eixo $ x $.
- Se for positivo, a onda se propaga na direção negativa do eixo $ x $.
No nosso caso, a equação é:
O sinal entre $ x $ e $ t $ é positivo, então a onda está se movendo na direção negativa do eixo $ x $.
Resposta
B) 75 cm/s e sentido negativo do eixo x