A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y = 6 sen(0,020 pi x+4 pi t), onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine a amplitude, o comprimento de onda, a frequência, a velocidade, o sentido da propagação, a máxima velocidade transversal de uma partícula na corda e qual é o deslocamento transversal em x=3,5 cm e t=0,26 s.

Passo 1

Nesse exercício, temos a equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa: . Vamos utilizar conceitos de ondas, como amplitude, comprimento de onda, frequência, velocidade de propagação, direção da propagação, velocidade transversal máxima de uma partícula na corda e deslocamento transversal em um ponto e tempo específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude da onda. A amplitude é o valor máximo que a função seno atinge, ou seja, o coeficiente que multiplica a função seno na equação da onda.

Passo 3

Na equação , a amplitude é 6 cm.

Passo 4

Agora, vamos determinar o número de onda e a velocidade angular . A forma geral da equação de uma onda transversal é .
Comparando com nossa equação, temos:
  • rad/cm
  • rad/s
O sinal de indica a direção da propagação da onda.

Passo 5

Para encontrar o comprimento de onda k = 2pilambda , usamos a relação entre o número de onda e o comprimento de onda:
lambda = 2pik = 2pi0,020 pi = 20,020 = 100 , cm
Resolvendo para :

Passo 6

A frequência omega = 2pi f pode ser encontrada a partir da relação entre a velocidade angular e a frequência:
f = omega2pi = 4pi2pi = 2 , Hz
Resolvendo para :

Passo 7

A velocidade de propagação v = lambda f da onda é dada por:
v = 100 , cm times 2 , Hz = 200 , cm/s
Substituindo os valores encontrados:

Passo 8

Para determinar o sentido da propagação, observamos o sinal do termo com e na equação da onda. Nossa equação está na forma , o que indica que a onda está se movendo na direção negativa de .

Passo 9

A máxima velocidade transversal vmax = A omega de uma partícula na corda é dada por:
vmax = 6 times 4pi = 24pi , cm/s
Usando e :

Passo 10

Finalmente, para encontrar o deslocamento transversal y = 6 , sin(0,020pi times 3,5 + 4pi times 0,26) em 0,020pi times 3,5 = 0,07pi e 4pi times 0,26 = 1,04pi , substituímos esses valores na equação da onda:
0,07pi + 1,04pi = 1,11pi
Calculando o argumento do seno:
y = 6 , sin(1,11pi)
y = 6 times (-sin(0,11pi)) approx 6 times (-0,3420) approx -2,05 , cm
Somando:
Então:
Sabendo que :

Resposta

Amplitude: 6 cm,
Comprimento de onda: 100 cm,
Frequência: 2 Hz,
Velocidade: 200 cm/s,
Sentido da propagação: negativo de ,
Máxima velocidade transversal: ,
Deslocamento transversal em e : aproximadamente -2,05 cm.

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