• cdot 70 Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x=6,00 t^2+3,00 t+2,00, onde x está em metros e tem segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a=-8,00 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t =0, a velocidade da partícula 2 é 20 m / s. Qual é a velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partículas se movendo ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada pela equação x = 6,00, t^2 + 3,00, t + 2,00, e a aceleração da partícula 2 é a = -8,00, t. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade das partículas no instante em que elas têm a mesma velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, que nos ajudam a encontrar velocidade a partir da posição e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 1. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função x(t) da partícula 1:
v1(t) = dxdt = ddt(6,00, t^2 + 3,00, t + 2,00) = 12,00, t + 3,00
Então, a velocidade da partícula 1 é v1(t) = 12,00, t + 3,00, m/s.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 2. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração:
v2(t) = integral a, dt = integral (-8,00, t), dt = -4,00, t^2 + C
Aqui, C é a constante de integração. Para encontrar C, usamos a condição inicial fornecida: no instante t = 0, a velocidade v2(0) = 20, m/s. Substituindo:
20 = -4,00, (0)^2 + C Rightarrow C = 20
Então, a velocidade da partícula 2 é:
v2(t) = -4,00, t^2 + 20,00, m/s

Passo 4

Agora, queremos encontrar o instante em que as duas partículas têm a mesma velocidade. Para isso, igualamos v1(t) e v2(t):
12,00, t + 3,00 = -4,00, t^2 + 20,00
Vamos reorganizar a equação para resolver para t:
4,00, t^2 + 12,00, t + 3,00 - 20,00 = 0 4,00, t^2 + 12,00, t - 17,00 = 0
Agora, temos uma equação quadrática na forma a, t^2 + b, t + c = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de t:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 4,00, b = 12,00, e c = -17,00. Calculando o discriminante:
De
Então,
t = -12,00 pm raiz4168,00 approx -12,00 pm 20,3968,00
Isso nos dá duas soluções:
t1 approx 8,3968,00 approx 1,05, segundos t2 approx -32,3968,00 approx -4,05, segundos
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos t2. Portanto, o instante em que as velocidades são iguais é aproximadamente t = 1,05 segundos.

Passo 5

Agora que sabemos que t approx 1,05, segundos, vamos calcular a velocidade comum. Podemos usar qualquer uma das equações de velocidade, por exemplo, v1(t):
v = 12,00, t + 3,00 = 12,00 times 1,05 + 3,00 = 12,60 + 3,00 = 15,60, m/s

Resposta

A velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade é aproximadamente 15,60, m/s.

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