• 70 Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por , onde está em metros e tem segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por , onde a está em metros por segundo ao quadrado e em segundos. No instante , a velocidade da partícula 2 é . Qual é a velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partículas se movendo ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada pela equação , e a aceleração da partícula 2 é . Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade das partículas no instante em que elas têm a mesma velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, que nos ajudam a encontrar velocidade a partir da posição e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 1. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função da partícula 1:
Então, a velocidade da partícula 1 é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 2. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração:
Aqui, é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial fornecida: no instante , a velocidade . Substituindo:
Então, a velocidade da partícula 2 é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o instante em que as duas partículas têm a mesma velocidade. Para isso, igualamos e :
Vamos reorganizar a equação para resolver para :
Agora, temos uma equação quadrática na forma . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos . Portanto, o instante em que as velocidades são iguais é aproximadamente segundos.

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos calcular a velocidade comum. Podemos usar qualquer uma das equações de velocidade, por exemplo, :

Resposta

A velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade é aproximadamente .

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