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70 Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por
, onde
está em metros e tem segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por
, onde a está em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. No instante
, a velocidade da partícula 2 é
. Qual é a velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partículas se movendo ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada pela equação
, e a aceleração da partícula 2 é
. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade das partículas no instante em que elas têm a mesma velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, que nos ajudam a encontrar velocidade a partir da posição e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 1. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função
da partícula 1:
Então, a velocidade da partícula 1 é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 2. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração:
Aqui,
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial fornecida: no instante
, a velocidade
. Substituindo:
Então, a velocidade da partícula 2 é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o instante em que as duas partículas têm a mesma velocidade. Para isso, igualamos
e
:
Vamos reorganizar a equação para resolver para
:
Agora, temos uma equação quadrática na forma
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
. Portanto, o instante em que as velocidades são iguais é aproximadamente
segundos.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular a velocidade comum. Podemos usar qualquer uma das equações de velocidade, por exemplo,
:
Resposta
A velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade é aproximadamente
.