A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y
, onde
e y são medidos em centímetro e
em segundos. Determine: a máxima aceleração transversal de uma partícula da corda
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que descreve uma onda transversal numa corda bem longa. Nosso objetivo é descobrir qual é a máxima aceleração que uma partícula dessa corda pode ter na direção vertical. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de ondas e derivadas da matemática. Precisamos entender como a posição de uma partícula na corda muda com o tempo para encontrar sua aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação da onda que foi dada:
Aqui:
-
é a posição vertical da partícula na corda (em centímetros). -
é a posição horizontal na corda (em centímetros). -
é o tempo (em segundos). - 6,0 é a amplitude da onda.
-
é o número de onda . -
é a frequência angular .
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos calcular a segunda derivada da posição
em relação ao tempo
. A aceleração
é dada por:
Vamos derivar a equação da onda duas vezes em relação a
.
Passo 4
Primeira derivada de
em relação a
:
Segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
A aceleração máxima ocorre quando o valor de é igual a 1 ou -1, já que o seno varia entre -1 e 1. Portanto, a máxima aceleração
é:
Resposta
A máxima aceleração transversal de uma partícula da corda é aproximadamente
.