A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y =6,0 sen(0,020 pi x+4,0 pi t), onde x e y são medidos em centímetro e t em segundos. Determine: a máxima aceleração transversal de uma partícula da corda

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que descreve uma onda transversal numa corda bem longa. Nosso objetivo é descobrir qual é a máxima aceleração que uma partícula dessa corda pode ter na direção vertical. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de ondas e derivadas da matemática. Precisamos entender como a posição de uma partícula na corda muda com o tempo para encontrar sua aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação da onda que foi dada:
Aqui:
  • y = 6,0 cdot sen(0,020 pi x + 4,0 pi t) é a posição vertical da partícula na corda (em centímetros).
  • é a posição horizontal na corda (em centímetros).
  • é o tempo (em segundos).
  • 6,0 é a amplitude da onda.
  • é o número de onda .
  • é a frequência angular .

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos calcular a segunda derivada da posição a = partial^2 ypartial t^2 em relação ao tempo . A aceleração é dada por:
Vamos derivar a equação da onda duas vezes em relação a .

Passo 4

Primeira derivada de partial ypartial t = 6,0 cdot cos(0,020 pi x + 4,0 pi t) cdot 4,0 pi em relação a partial ypartial t = 24,0 pi cdot cos(0,020 pi x + 4,0 pi t) :
partial^2 ypartial t^2 = -24,0 pi cdot sen(0,020 pi x + 4,0 pi t) cdot 4,0 pi
partial^2 ypartial t^2 = -96,0 pi^2 cdot sen(0,020 pi x + 4,0 pi t)
Segunda derivada de em relação a :

Passo 5

A aceleração máxima ocorre quando o valor de é igual a 1 ou -1, já que o seno varia entre -1 e 1. Portanto, a máxima aceleração amáx = 96,0 pi^2 , cm/s^2 á é:
á

Resposta

A máxima aceleração transversal de uma partícula da corda é aproximadamente .

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