Quando a equação de Planck é empregado a baixas frequências, qual o resultado obtido? ATENCÃAO: demonstre sua resposta empregando a equação de Planck e fazendo as simplificações que julgar necessárias. (2,0 ptos)
u=8 pi v^2c^3 h ve^h v / k T-1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem que usar a equação de Planck para ver o que acontece quando a frequência é baixa. Isso envolve conhecimentos de física quântica e radiação do corpo negro. Vamos precisar da própria equação de Planck e de alguns truques de álgebra para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Planck que nos foi dada:
u = 8 pi v^2c^3 cdot h ve^h vk T - 1
Aqui, é a densidade de energia, é a frequência, é a velocidade da luz, é a constante de Planck, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 3

Como queremos analisar o caso de baixas frequências, isso significa que e^h vk T approx 1 + h vk T é pequeno. Consequentemente, o termo também será pequeno. Quando é pequeno, sabemos que pode ser aproximado por . Então, vamos aplicar essa aproximação:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na equação de Planck, temos:
u approx 8 pi v^2c^3 cdot h v(1 + h vk T) - 1
Simplificando o denominador:
(1 + h vk T) - 1 = h vk T
Então, a equação fica:
u approx 8 pi v^2c^3 cdot h vh vk T

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração dentro da equação:
h vh vk T = k T
Portanto, a equação fica:
u approx 8 pi v^2c^3 cdot k T

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, obtemos:
u = 8 pi v^2c^3 cdot k T
Esse resultado é conhecido como a lei de Rayleigh-Jeans, que descreve a distribuição de energia em baixas frequências e é o limite clássico da equação de Planck.

Resposta

Quando aplicamos a equação de Planck a baixas frequências, obtemos:
u = 8 pi v^2c^3 cdot k T

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