Uma haste longa e reta de metal tem raio de e carga por unidade de comprimento de . Encontre o campo elétrico às seguintes distâncias do eixo: (a) ,(b) e © 100 cm.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste longa e reta de metal com raio de e uma carga por unidade de comprimento de . Precisamos encontrar o campo elétrico ( ) em três distâncias diferentes do eixo da haste: (a) , (b) e © .
Matéria envolvida: Campo elétrico devido a distribuições de carga linear, utilizando a Lei de Gauss para simetrias cilíndricas.
Para resolver, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss e considerar a simetria do problema para escolher uma superfície gaussiana adequada.

Passo 2

Lembra da Lei de Gauss? Ela diz que o fluxo elétrico total ( ) através de uma superfície fechada é igual à carga total ( ) dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo ( ). Em fórmula:
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento da área da superfície.

Passo 3

Como a haste é longa e reta, com simetria cilíndrica, vamos escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial com a haste. Isso facilita porque o campo elétrico ( ) terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro e será perpendicular a ela.

Passo 4

Vamos considerar duas situações para aplicar a Lei de Gauss:
  1. Dentro da haste ( ): Como a haste é metálica e em equilíbrio eletrostático as cargas se distribuem na superfície, a carga dentro da superfície gaussiana é zero.
  2. Fora da haste ( ): Toda a carga da haste está dentro da superfície gaussiana.

Passo 5

Caso (a):
Como , estamos dentro da haste. A carga encerrada ( ) pela superfície gaussiana é zero.
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto:

Passo 6

Caso (b):
Aqui, , então estamos fora da haste. A carga total dentro da superfície gaussiana é:
Onde e é o comprimento do cilindro gaussiano.
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando :
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 7

Caso ©:
Convertendo para metros: . Como , estamos também fora da haste. Usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando:

Resposta

(a) O campo elétrico a do eixo é .
(b) O campo elétrico a do eixo é aproximadamente .
© O campo elétrico a do eixo é aproximadamente .

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