Uma haste longa e reta de metal tem raio de
e carga por unidade de comprimento de
. Encontre o campo elétrico às seguintes distâncias do eixo: (a)
,(b)
e © 100 cm.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste longa e reta de metal com raio de
e uma carga por unidade de comprimento de
. Precisamos encontrar o campo elétrico (
) em três distâncias diferentes do eixo da haste: (a)
, (b)
e ©
.
Matéria envolvida: Campo elétrico devido a distribuições de carga linear, utilizando a Lei de Gauss para simetrias cilíndricas.
Para resolver, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss e considerar a simetria do problema para escolher uma superfície gaussiana adequada.
Passo 2
Lembra da Lei de Gauss? Ela diz que o fluxo elétrico total (
) através de uma superfície fechada é igual à carga total (
) dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo (
). Em fórmula:
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento da área da superfície.
Passo 3
Como a haste é longa e reta, com simetria cilíndrica, vamos escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial com a haste. Isso facilita porque o campo elétrico (
) terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro e será perpendicular a ela.
Passo 4
Vamos considerar duas situações para aplicar a Lei de Gauss:
- Dentro da haste (
): Como a haste é metálica e em equilíbrio eletrostático as cargas se distribuem na superfície, a carga dentro da superfície gaussiana é zero. - Fora da haste (
): Toda a carga da haste está dentro da superfície gaussiana.
Passo 5
Caso (a):
Como
, estamos dentro da haste. A carga encerrada (
) pela superfície gaussiana é zero.
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto:
Passo 6
Caso (b):
Aqui,
, então estamos fora da haste. A carga total dentro da superfície gaussiana é:
Onde
e
é o comprimento do cilindro gaussiano.
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando
:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 7
Caso ©:
Convertendo para metros:
. Como
, estamos também fora da haste. Usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
(a) O campo elétrico a
do eixo é
.
(b) O campo elétrico a
do eixo é aproximadamente
.
© O campo elétrico a
do eixo é aproximadamente
.