Uma haste longa e reta de metal tem raio de 5,00 cm e carga por unidade de comprimento de 30,0 nC / m. Encontre o campo elétrico às seguintes distâncias do eixo: (a) 3,00 cm,(b) 10,00 cm e © 100 cm.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste longa e reta de metal com raio de e uma carga por unidade de comprimento de . Precisamos encontrar o campo elétrico ( ) em três distâncias diferentes do eixo da haste: (a) , (b) e © .
Matéria envolvida: Campo elétrico devido a distribuições de carga linear, utilizando a Lei de Gauss para simetrias cilíndricas.
Para resolver, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss e considerar a simetria do problema para escolher uma superfície gaussiana adequada.

Passo 2

Lembra da Lei de Gauss? Ela diz que o fluxo elétrico total ( PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 ) através de uma superfície fechada é igual à carga total ( ) dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo ( ). Em fórmula:
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento da área da superfície.

Passo 3

Como a haste é longa e reta, com simetria cilíndrica, vamos escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial com a haste. Isso facilita porque o campo elétrico ( ) terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro e será perpendicular a ela.

Passo 4

Vamos considerar duas situações para aplicar a Lei de Gauss:
  1. Dentro da haste ( ): Como a haste é metálica e em equilíbrio eletrostático as cargas se distribuem na superfície, a carga dentro da superfície gaussiana é zero.
  2. Fora da haste ( ): Toda a carga da haste está dentro da superfície gaussiana.

Passo 5

Caso (a): E cdot 2pi r L = Qencvarepsilon0 = 0
Como E = 0, N/C , estamos dentro da haste. A carga encerrada ( ) pela superfície gaussiana é zero.
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto:

Passo 6

Caso (b): Qenc = lambda L
Aqui, E cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon0 , então estamos fora da haste. A carga total dentro da superfície gaussiana é:
E = lambda2pi varepsilon0 r
Onde E = 30,0 times 10^-9, C/m2 pi times 8,85 times 10^-12, C^2/Ncdotm^2 times 0,10, m e E approx 30,0 times 10^-95,57 times 10^-12 approx 5,39 times 10^3, N/C é o comprimento do cilindro gaussiano.
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando :
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 7

Caso ©: E = lambda2pi varepsilon0 r
Convertendo para metros: E = 30,0 times 10^-9, C/m2 pi times 8,85 times 10^-12, C^2/Ncdotm^2 times 1, m . Como E approx 30,0 times 10^-95,57 times 10^-11 approx 5,39 times 10^2, N/C , estamos também fora da haste. Usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando:

Resposta

(a) O campo elétrico a do eixo é .
(b) O campo elétrico a do eixo é aproximadamente .
© O campo elétrico a do eixo é aproximadamente .

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