Uma onda plana uniforme estí se propagando em um meio com perdas tendo m. O campo elétrico é dado por . Determine e e t̂, e escreva a expressăo no domúnio do termpo associada a vetor campo magnético.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos apresenta uma onda plana uniforme que está se propagando em um meio com perdas. Os dados fornecidos são:
  • Constante de propagação real:
  • Permeabilidade relativa:
  • Condutividade:
Além disso, nos dão o campo elétrico:
Nos pedem para determinar (constante de atenuação) e (constante de fase), além de escrever a expressão no domínio do tempo associada ao vetor campo magnético.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se comportam em meios com perdas, usar as relações entre as constantes fornecidas e aplicar fórmulas de ondas eletromagnéticas em meios condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um meio com perdas, a constante de propagação é complexa e pode ser escrita como:
Onde:
  • é a constante de atenuação, que indica como a amplitude da onda diminui ao se propagar.
  • é a constante de fase, relacionada ao comprimento de onda e à velocidade de propagação.
Além disso, a velocidade de propagação no meio é dada por:
Onde é a permeabilidade do meio e é a permissividade.

Passo 3

Vamos calcular a permeabilidade e a permissividade do meio. Sabemos que:
Como não foi dada a permissividade relativa , assumimos que . Então:
Agora, calculamos :
E :
Onde e são as permissividade e permeabilidade do vácuo, respectivamente.

Passo 4

Com e conhecidas, podemos determinar a constante de propagação . Em um meio condutor, é dado por:
Onde é a frequência angular da onda.
Vamos identificar a partir da expressão do campo elétrico. A expressão dada é:
Comparando com , temos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na expressão de :
Vamos calcular cada parte separadamente:
Somando essas contribuições e tirando a raiz quadrada, obtemos , que tem uma parte real e uma imaginária .

Passo 6

Porém, para simplificar, podemos usar aproximações para meios com perdas leves, onde não é muito grande. Nesse caso:
Vamos calcular e usando essas fórmulas.

Passo 7

Primeiro, calculamos :
Então, fica:

Passo 8

Agora, calculamos :
Sabendo que , onde é a velocidade da luz, temos:

Passo 9

Finalmente, para escrever a expressão no domínio do tempo para o vetor campo magnético , usamos:
Substituindo os valores de e que encontramos, temos a expressão completa no domínio do tempo.

Resposta

Então, encontramos que:
E a expressão no domínio do tempo para o vetor campo magnético é:

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