Uma onda plana uniforme estí se propagando em um meio com perdas tendo cr=36, mur=4 e sigma=1 S m. O campo elétrico é dado por B=100 a^-pi cos (10 pi times 10^pi t-beta pi) a2. Determine alpha e beta e t̂, e escreva a expressăo no domúnio do termpo associada a vetor campo magnético.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos apresenta uma onda plana uniforme que está se propagando em um meio com perdas. Os dados fornecidos são:
  • Constante de propagação real: B = 100 , a^-pi cos(10pi times 10^pi t - beta pi) a2
  • Permeabilidade relativa:
  • Condutividade:
Além disso, nos dão o campo elétrico:
Nos pedem para determinar (constante de atenuação) e (constante de fase), além de escrever a expressão no domínio do tempo associada ao vetor campo magnético.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se comportam em meios com perdas, usar as relações entre as constantes fornecidas e aplicar fórmulas de ondas eletromagnéticas em meios condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um meio com perdas, a constante de propagação gamma = alpha + jbeta é complexa e pode ser escrita como:
v = 1raizmu epsilon
Onde:
  • é a constante de atenuação, que indica como a amplitude da onda diminui ao se propagar.
  • é a constante de fase, relacionada ao comprimento de onda e à velocidade de propagação.
Além disso, a velocidade de propagação no meio é dada por:
Onde é a permeabilidade do meio e é a permissividade.

Passo 3

Vamos calcular a permeabilidade mu = mur mu0 e a permissividade epsilon = epsilonr epsilon0 do meio. Sabemos que:
cr = raizepsilonrmur Rightarrow epsilonr = cr^2 mur = 36^2 times 4 = 5184
epsilon = 5184 times epsilon0
Como não foi dada a permissividade relativa mu = 4 times mu0 , assumimos que . Então:
Agora, calculamos :
E :
Onde e são as permissividade e permeabilidade do vácuo, respectivamente.

Passo 4

Com gamma = raizjomegamusigma + omega^2muepsilon e cos(10pi times 10^pi t - beta pi) conhecidas, podemos determinar a constante de propagação omega = 10pi times 10^pi , rad/s . Em um meio condutor, é dado por:
Onde é a frequência angular da onda.
Vamos identificar a partir da expressão do campo elétrico. A expressão dada é:
Comparando com , temos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na expressão de gamma = raizjomegamusigma + omega^2muepsilon :
jomegamusigma = j times 10pi times 10^pi times 4mu0 times 1
Vamos calcular cada parte separadamente:
omega^2muepsilon = (10pi times 10^pi)^2 times 4mu0 times 5184epsilon0
Somando essas contribuições e tirando a raiz quadrada, obtemos , que tem uma parte real e uma imaginária .

Passo 6

Porém, para simplificar, podemos usar aproximações para meios com perdas leves, onde alpha approx sigma2 raizmuepsilon não é muito grande. Nesse caso:
beta approx omega raizmu epsilon
Vamos calcular e usando essas fórmulas.

Passo 7

Primeiro, calculamos raizmuepsilon = raiz4mu05184epsilon0 = raiz11296 = 136 :
alpha = 12 times 1 times 136 = 172 , m^-1
Então, fica:

Passo 8

Agora, calculamos beta = omega raizmu epsilon = 10pi times 10^pi times raiz4mu0 times 5184epsilon0 :
beta = 10pi times 10^pi times raiz4 times 5184 times 1c
Sabendo que beta = 10pi times 10^pi times 144 times 1c , onde é a velocidade da luz, temos:

Passo 9

Finalmente, para escrever a expressão no domínio do tempo para o vetor campo magnético B(t) = B0 e^-alpha x cos(omega t - beta x) , usamos:
Substituindo os valores de e que encontramos, temos a expressão completa no domínio do tempo.

Resposta

Então, encontramos que:
alpha = 172 , m^-1
beta = 10pi times 10^pi times 144c , rad/m
E a expressão no domínio do tempo para o vetor campo magnético é:
B(t) = 100 , a^-pi e^-172 x cos(10pi times 10^pi t - (10pi times 10^pi times 144c) pi x) a2

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