Se a equação
é dimensionalmente correta, onde
possui dimensão de velocidade, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação onde precisamos determinar a dimensão de
. A matéria envolvida aqui é análise dimensional, que ajuda a verificar se uma equação está correta em termos das unidades físicas usadas. Para resolver, vamos precisar entender as dimensões de cada termo na equação e garantir que todos lados da equação tenham a mesma dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Sabemos que
tem a dimensão de velocidade, ou seja,
, onde
é comprimento e
é tempo.
Passo 3
Para que a equação seja dimensionalmente correta, todos os termos do lado esquerdo devem ter a mesma dimensão que o lado direito. Vamos analisar cada termo:
-
Termo
: -
Termo
: -
Termo
: -
Lado direito
: Aqui,é uma função trigonométrica e, portanto, adimensional. Isso significa que também deve ser adimensional para que a soma faça sentido. Assim: Então, a dimensão do lado direito é:
Passo 4
Agora, igualamos as dimensões dos termos do lado esquerdo à dimensão do lado direito
:
-
Para
: Portanto: -
Para
e : Ambos os termos também devem ter a dimensão, mas já determinamos que , o que satisfaz a igualdade dimensional para esses termos.
Resposta
A dimensão de
é
.
Exercícios relacionados
Qual a ordem de grandeza do tempo que a luz leva do Sol para chegar até a Terra? E até Plutão?
Estime a ordem de grandeza do número de litros de água ingeridos e o volume de ar respirado por um ser humano (brasileiro) ao longo da vida.
(a) Estime a ordem de grandeza do custo em
(reais) para transportar via caminhão um carga de laranja de São Paulo à Fortaleza. (b) Estime a ordem de grandeza do número de passos e o número de dias em uma viagem à pé no mesmo trajeto.
(a) Estime a ordem de grandeza do número de grãos de arroz em um pacote de 1 kg . (b) Estime a ordem de grandeza do número de litros de água ingeridos e o volume de ar respirado por um ser humano (brasileiro) ao longo da vida.