Prove que as retas 2 x+3 y-1=0, x+y=0 e 3 x+4 y-1=0 concorrem no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que as retas , e se encontram no mesmo ponto. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica, onde a gente resolve sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações:
2x + 3y = 1 x + y = 0
Vamos usar o método da substituição. Da segunda equação, podemos isolar x = -y :

Passo 3

Agora, substituímos 2(-y) + 3y = 1 -2y + 3y = 1 y = 1 na primeira equação:
x = -1
Com , substituímos de volta para encontrar :
Então, o ponto de interseção das duas primeiras retas é .

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto também está na terceira reta 3(-1) + 4(1) - 1 = -3 + 4 - 1 = 0 . Substituímos e na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto também está na terceira reta.

Resposta

Portanto, as três retas se encontram no ponto .

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