A equação da reta tangente à curva f(x)=x² no ponto de abscissa igual a 3 é:
a. y=20x+6
b. y=20-x
c. y=6x-9
d. y=x
e. y=6x
a. y=20x+6
b. y=20-x
c. y=6x-9
d. y=x
e. y=6x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a equação da reta tangente à curva $ f(x) = x^2 $ no ponto onde a abscissa é igual a 3. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^2 $. A derivada $ f’(x) $ nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $ da curva.
A derivada de $ x^2 $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde $ x = 3 $:
Então, a inclinação da reta tangente é 6.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as coordenadas do ponto de tangência. Sabemos que $ x = 3 $, então vamos calcular $ f(3) $:
Portanto, o ponto de tangência é $ (3, 9) $.
Passo 5
Agora vamos usar a fórmula da reta que passa por um ponto $ (x_0, y_0) $ com inclinação $ m $:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 6x - 9 $. A alternativa correta é a c. y = 6x - 9.