Determine o ângulo theta entre a reta e o plano em cada caso:
(a) r:lx=0 y=lambda z=lambda, lambda in R, e pi: z=0

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . A reta é definida pelas equações , , onde , e o plano é dado por . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o ângulo entre uma reta e um plano usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta r: x = 0 y = lambda z = lambda e o vetor normal ao plano pi: 0x + 0y + 1z + 0 = 0 .
A reta está parametrizada por:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .
O plano é definido pela equação , que pode ser escrita na forma geral:
O vetor normal ao plano é .

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre a reta cos phi = a cdot b|a| |b| e o plano d cdot n = 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1 , precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta |d| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2 e o vetor normal do plano |n| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 . Vamos chamar esse ângulo de cos phi = 1raiz2 times 1 = 1raiz2 .
A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Calculando o produto escalar :
Calculando os módulos dos vetores:
Então:
Portanto, .

Passo 4

O ângulo theta = 90^circ - phi = 90^circ - 45^circ = 45^circ entre a reta e o plano é complementar ao ângulo , ou seja:

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é .

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