Equacione o balando de forças para o volume de controle escolhido. Enumere as condições de contorno do problema e encontre a equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação (Dica: com os dados você consegue calcular dP/dx).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido: a gente precisa montar o balanço de forças para um volume de controle escolhido, listar as condições de contorno do problema e, por fim, encontrar a equação que descreve o perfil de velocidade em função do raio da tubulação. Para isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e algumas equações básicas de fluidos. Vamos precisar das leis de Newton para fluidos e conhecer um pouco sobre o perfil de velocidade em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um volume de controle. Imagine uma seção circular da tubulação onde o fluido está escoando. Nesse volume, as forças que vão atuar são a força de pressão nas superfícies e a força viscosa devido à viscosidade do fluido.
Passo 3
Agora, vamos montar o balanço de forças. Para estar em equilíbrio, a soma das forças deve ser igual a zero. As forças de pressão agem nas áreas das seções transversal e nas paredes da tubulação. Como o fluido está se movendo, a força viscosa age na direção oposta ao escoamento.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
é o gradiente de pressão.
é o raio da tubulação.
é a tensão de cisalhamento (força viscosa por unidade de área).
é o comprimento da tubulação.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar :
Agora, precisamos relacionar a tensão de cisalhamento com a velocidade do fluido. Para isso, usamos a equação de Newton para fluidos viscosos:
Onde:
é a viscosidade dinâmica do fluido.
é a derivada da velocidade em relação ao raio.
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar . Primeiro, rearranjamos:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição de contorno.
Passo 6
As condições de contorno são:
Na parede da tubulação (), a velocidade é zero (condição de aderência: ).
No centro da tubulação (), a derivada da velocidade em relação ao raio é zero (simetria: ).
Aplicando a primeira condição:
Passo 7
Substituindo u(r) = R2mu cdot dPdx cdot r - R^22mu cdot dPdx na equação de u(r) = R2mu cdot dPdx cdot (r - R) :
u(r) = 14mu cdot dPdx cdot (R^2 - r^2)
Fatorando :
Rearranjando:
Resposta
A equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação é: