Equacione o balando de forças para o volume de controle escolhido. Enumere as condições de contorno do problema e encontre a equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação (Dica: com os dados você consegue calcular dP/dx).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido: a gente precisa montar o balanço de forças para um volume de controle escolhido, listar as condições de contorno do problema e, por fim, encontrar a equação que descreve o perfil de velocidade em função do raio da tubulação. Para isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e algumas equações básicas de fluidos. Vamos precisar das leis de Newton para fluidos e conhecer um pouco sobre o perfil de velocidade em tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um volume de controle. Imagine uma seção circular da tubulação onde o fluido está escoando. Nesse volume, as forças que vão atuar são a força de pressão nas superfícies e a força viscosa devido à viscosidade do fluido.

Passo 3

Agora, vamos montar o balanço de forças. Para estar em equilíbrio, a soma das forças deve ser igual a zero. As forças de pressão agem nas áreas das seções transversal e nas paredes da tubulação. Como o fluido está se movendo, a força viscosa age na direção oposta ao escoamento.
Matematicamente, isso fica assim:
dPdx cdot pi R^2 = tau cdot 2pi R L
Onde:
  • é o gradiente de pressão.
  • é o raio da tubulação.
  • é a tensão de cisalhamento (força viscosa por unidade de área).
  • é o comprimento da tubulação.

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar tau = R2 cdot dPdx :
tau = mu cdot dudr
Agora, precisamos relacionar a tensão de cisalhamento mu cdot dudr = R2 cdot dPdx com a velocidade do fluido. Para isso, usamos a equação de Newton para fluidos viscosos:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • é a derivada da velocidade em relação ao raio.
Substituindo na equação anterior:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar dudr = R2mu cdot dPdx . Primeiro, rearranjamos:
u(r) = R2mu cdot dPdx cdot r + C
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição de contorno.

Passo 6

As condições de contorno são:
  1. Na parede da tubulação ( 0 = R2mu cdot dPdx cdot R + C Rightarrow C = -R^22mu cdot dPdx ), a velocidade é zero (condição de aderência: ).
  2. No centro da tubulação ( ), a derivada da velocidade em relação ao raio é zero (simetria: ).
Aplicando a primeira condição:

Passo 7

Substituindo u(r) = R2mu cdot dPdx cdot r - R^22mu cdot dPdx na equação de u(r) = R2mu cdot dPdx cdot (r - R) :
u(r) = 14mu cdot dPdx cdot (R^2 - r^2)
Fatorando :
Rearranjando:

Resposta

A equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação é:
u(r) = 14mu cdot dPdx cdot (R^2 - r^2)

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