Equações algébricas como a de quantidade de movimento para uma camada limite, são expressas no seu processo de dedução na forma diferencial.
rho V partial Vpartial x+rho V partial Vpartial y=-partial ppartial x+rho g+partial taupartial y
Em que: rho é a massa específica; V a velocidade; x e y comprimentos de movimentação do fluido em duas direções em que se movimenta; p pressão; g aceleração da gravidade e tau tensão de cisalhamento. Essa equação e dimensionalmente homogênea?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação de quantidade de movimento para uma camada limite, que está expressa na forma diferencial. Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é dimensionalmente homogênea. Para isso, vamos precisar entender as dimensões de cada termo da equação e garantir que todos eles tenham as mesmas unidades. Vamos usar conceitos de dimensões físicas e homogeneidade dimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser dimensionalmente homogênea. Isso quer dizer que todos os termos da equação devem ter as mesmas dimensões físicas, ou seja, as mesmas unidades de medida. Se isso for verdadeiro, a equação está correta do ponto de vista dimensional. Caso contrário, há algum erro nas unidades usadas nos termos da equação.

Passo 3

Agora, vamos identificar e determinar as dimensões de cada termo na equação. As dimensões básicas que vamos usar são:
  • Massa específica ( rho): [M][L]^-3
  • Velocidade (V): [L][T]^-1
  • Comprimentos (x e y): [L]
  • Pressão §: [M][L]^-1[T]^-2
  • Aceleração da gravidade (g): [L][T]^-2
  • Tensão de cisalhamento ( tau): [M][L]^-1[T]^-2
Vamos decompor cada termo da equação:
  1. rho V partial Vpartial x:
    • rho: [M][L]^-3
    • V: [L][T]^-1
    • partial Vpartial x: [L][T]^-1[L] = [T]^-1
    • Total: [M][L]^-3 times [L][T]^-1 times [T]^-1 = [M][L]^-2[T]^-2
  2. rho V partial Vpartial y:
    • Segue o mesmo raciocínio do termo anterior.
    • Total: [M][L]^-2[T]^-2
  3. -partial ppartial x:
    • p: [M][L]^-1[T]^-2
    • partial ppartial x: [M][L]^-1[T]^-2[L] = [M][L]^-2[T]^-2
    • Total: [M][L]^-2[T]^-2
  4. rho g:
    • rho: [M][L]^-3
    • g: [L][T]^-2
    • Total: [M][L]^-3 times [L][T]^-2 = [M][L]^-2[T]^-2
  5. partial taupartial y:
    • tau: [M][L]^-1[T]^-2
    • partial taupartial y: [M][L]^-1[T]^-2[L] = [M][L]^-2[T]^-2
    • Total: [M][L]^-2[T]^-2

Passo 4

Agora que temos as dimensões de todos os termos, vamos comparar:
  • Termos da esquerda:
    • rho V partial Vpartial x: [M][L]^-2[T]^-2
    • rho V partial Vpartial y: [M][L]^-2[T]^-2
  • Termos da direita:
    • -partial ppartial x: [M][L]^-2[T]^-2
    • rho g: [M][L]^-2[T]^-2
    • partial taupartial y: [M][L]^-2[T]^-2
Todos os termos possuem as dimensões [M][L]^-2[T]^-2.

Resposta

Sim, a equação apresentada é dimensionalmente homogênea, pois todos os seus termos possuem as mesmas dimensões físicas.

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