Se P é uma pressão e V uma velocidade e rho a massa específica de um fluido, quais serão as dimensões, no sistema MLT de:
(a) p / rho.
(b) pV rho.
© p / rho V^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre análise dimensional no sistema MLT, que usa Massa (M), Comprimento (L) e Tempo (T) como dimensões básicas. A gente tem três grandezas envolvidas:
  • Pressão ( P ou p): mede força por área.
  • Velocidade ( V ou V): mede quão rápido algo está se movendo.
  • Densidade ( rho ou rho): mede a massa por volume.
Vamos descobrir as dimensões de cada expressão pedida no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as dimensões básicas de cada grandeza:
  1. Pressão ( p):
    • Pressão é força por área. A força tem dimensão de massa vezes aceleração, ou seja, [F] = M cdot L cdot T^-2.
    • Área tem dimensão de comprimento ao quadrado, [A] = L^2.
    • Então, a pressão tem dimensão: [p] = [F][A] = M cdot L cdot T^-2L^2 = M cdot L^-1 cdot T^-2
  2. Velocidade ( V):
    • Velocidade é distância dividida pelo tempo. [V] = LT = L cdot T^-1
  3. Densidade ( rho):
    • Densidade é massa por volume. [rho] = ML^3 = M cdot L^-3

Passo 3

Agora, vamos resolver cada item do exercício usando essas dimensões.

Parte (a): p / rho

Queremos encontrar as dimensões de p / rho. Vamos dividir as dimensões da pressão pelas da densidade:
[p][rho] = M cdot L^-1 cdot T^-2M cdot L^-3 = L^2 cdot T^-2

Passo 4

Parte (b): pV rho

Aqui, temos o produto de pressão, velocidade e densidade. Vamos multiplicar as dimensões de cada uma:
[pV rho] = [p] cdot [V] cdot [rho] = (M cdot L^-1 cdot T^-2) cdot (L cdot T^-1) cdot (M cdot L^-3)
Agora, multiplicando as potências de cada dimensão:
M^2 cdot L^-1 + 1 -3 cdot T^-2 -1 = M^2 cdot L^-3 cdot T^-3

Passo 5

Parte ©: p / (rho V^2)

Queremos as dimensões de pressão dividida por (densidade vezes velocidade ao quadrado):
[p][rho][V^2] = M cdot L^-1 cdot T^-2M cdot L^-3 cdot (L cdot T^-1)^2
Primeiro, calculamos as dimensões de rho V^2:
[rho V^2] = M cdot L^-3 cdot (L^2 cdot T^-2) = M cdot L^-1 cdot T^-2
Agora, dividindo:
M cdot L^-1 cdot T^-2M cdot L^-1 cdot T^-2 = 1
Ou seja, a expressão é adimensional.

Resposta

(a) L^2 cdot T^-2
(b) M^2 cdot L^-3 cdot T^-3
© 1 (adimensional)

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