Um escoamento é representado pelo campo de velocidade (x^7-21 x^5 y^2+35 x^3 y^4-7 x y^6) i+(7 x^6 y-35 x^4 y^3+21 x^2 y^5-y^7) j. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade dado por:
V = (x^7 - 21x^5y^2 + 35x^3y^4 - 7xy^6) i + (7x^6y - 35x^4y^3 + 21x^2y^5 - y^7) j
A tarefa é descobrir se esse campo de velocidade representa um escoamento incompressível e se ele é irrotacional. Pra isso, vamos usar conceitos de divergência e rotacional na mecânica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for igual a zero. A divergência em duas dimensões é dada por:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y
Onde e são as componentes do campo de velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de partial upartial x = partialpartial x (x^7 - 21x^5y^2 + 35x^3y^4 - 7xy^6) em relação a partial upartial x = 7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6 :
partial vpartial y = partialpartial y (7x^6y - 35x^4y^3 + 21x^2y^5 - y^7)
Derivando termo a termo:
partial vpartial y = 7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6
Agora, a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, somamos as derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y = (7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6) + (7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6)
Simplificando:
nabla cdot V = 14x^6 - 210x^4y^2 + 210x^2y^4 - 14y^6

Passo 5

Para o escoamento ser incompressível, a divergência precisa ser igual a zero. Vamos verificar se a expressão acima é igual a zero para todos os valores de 14x^6 - 210x^4y^2 + 210x^2y^4 - 14y^6 neq 0 (a menos que x = y = 0) e .
Observando:
Portanto, a divergência não é zero em geral.

Passo 6

Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Um escoamento é irrotacional se o rotacional do campo de velocidade for igual a zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
nabla times V = partial vpartial x - partial upartial y

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias.
Primeiro, a derivada de partial vpartial x = partialpartial x (7x^6y - 35x^4y^3 + 21x^2y^5 - y^7) = 42x^5y - 140x^3y^3 + 42x y^5 em relação a partial upartial y = partialpartial y (x^7 - 21x^5y^2 + 35x^3y^4 - 7xy^6) = -42x^5y + 140x^3y^3 - 42x y^5 :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 8

Calculamos o rotacional:
nabla times V = partial vpartial x - partial upartial y = (42x^5y - 140x^3y^3 + 42x y^5) - (-42x^5y + 140x^3y^3 - 42x y^5)
Simplificando:
nabla times V = 42x^5y - 140x^3y^3 + 42x y^5 + 42x^5y - 140x^3y^3 + 42x y^5 = 84x^5y - 280x^3y^3 + 84x y^5

Resposta

(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.

Exercícios relacionados