Um escoamento é representado pelo campo de velocidade . Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade dado por:
A tarefa é descobrir se esse campo de velocidade representa um escoamento incompressível e se ele é irrotacional. Pra isso, vamos usar conceitos de divergência e rotacional na mecânica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for igual a zero. A divergência em duas dimensões é dada por:
Onde e são as componentes do campo de velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:
Agora, a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, somamos as derivadas para encontrar a divergência:
Simplificando:

Passo 5

Para o escoamento ser incompressível, a divergência precisa ser igual a zero. Vamos verificar se a expressão acima é igual a zero para todos os valores de e .
Observando:
Portanto, a divergência não é zero em geral.

Passo 6

Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Um escoamento é irrotacional se o rotacional do campo de velocidade for igual a zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 8

Calculamos o rotacional:
Simplificando:

Resposta

(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.

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