Um escoamento é representado pelo campo de velocidade
. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade dado por:
A tarefa é descobrir se esse campo de velocidade representa um escoamento incompressível e se ele é irrotacional. Pra isso, vamos usar conceitos de divergência e rotacional na mecânica dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for igual a zero. A divergência em duas dimensões é dada por:
Onde
e
são as componentes do campo de velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, somamos as derivadas para encontrar a divergência:
Simplificando:
Passo 5
Para o escoamento ser incompressível, a divergência precisa ser igual a zero. Vamos verificar se a expressão acima é igual a zero para todos os valores de
e
.
Observando:
Portanto, a divergência não é zero em geral.
Passo 6
Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Um escoamento é irrotacional se o rotacional do campo de velocidade for igual a zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Calculamos o rotacional:
Simplificando:
Resposta
(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.