Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série . Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até . E é 1000 elevado à potência . A série soma esses termos para todos os valores de começando de 0 até o infinito.
Passo 3
Para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil especialmente quando temos fatoriais ou exponenciais na expressão geral do termo da série. O Teste da Razão diz o seguinte:
Seja o termo geral da série. Calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (n+1)!1.000^n+1 = (n+1) cdot n!1.000 cdot 1.000^n = (n+1) cdot n!1.000^n+1 . Agora, calculamos an+1an = (n+1) cdot n! / 1.000^n+1n! / 1.000^n = n+11.000 :
L = limn to infty n+11.000 = limn to infty n1.000 + 11.000 = infty
Agora, calculamos a razão :
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.