Encontre o vetor posição sigma(t), se o vetor aceleração é A(t) = t^2 i - (1 / t^2) j, sempre que
V(1)=j e sigma(1)=(0,25)i+(0,5)j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor posição sigma(t) sabendo a aceleração . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais de funções vetoriais. Precisamos integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição. Também vamos usar as condições iniciais fornecidas para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade V(t) integrando a aceleração A(t). Lembrando que a integral da aceleração dá a velocidade:
Vamos integrar componente por componente:
Para a componente i:
Para a componente j:
Então, a velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes C1 e C2. Vamos substituir na expressão de V(t):
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar a velocidade V(t) para encontrar a posição sigma(t). A integral da velocidade dá a posição:
Vamos integrar componente por componente:
Para a componente i:
Para a componente j:
Então, a posição fica:

Passo 5

Vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes C3 e C4. Substituindo na expressão de sigma(t):
Sabemos que , então temos:
Para a componente i:
Para a componente j:
Então, a expressão da posição fica:

Resposta

A posição do vetor é

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