Encontre o vetor posição
, se o vetor aceleração é
, sempre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor posição
sabendo a aceleração
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais de funções vetoriais. Precisamos integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição. Também vamos usar as condições iniciais fornecidas para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
integrando a aceleração
. Lembrando que a integral da aceleração dá a velocidade:
Vamos integrar componente por componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar as constantes
e
. Vamos substituir
na expressão de
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar a velocidade
para encontrar a posição
. A integral da velocidade dá a posição:
Vamos integrar componente por componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a posição fica:
Passo 5
Vamos usar a condição inicial
para encontrar as constantes
e
. Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então temos:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a expressão da posição fica:
Resposta
A posição do vetor é
Exercícios relacionados
As equações paramétricas para a trocoide são
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se
.
Prove que se
e
forem vetores constantes e
e
forem funções integráveis, então
Seja
.
b) Calcule um valor aproximado para , correspondente a
e
.
b) Calcule um valor aproximado para