é a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre planos tangentes e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano tangente de uma forma que facilite a comparação com a fórmula padrão do plano tangente. A equação dada é:
Podemos rearranjar isso para ficar em termos de
:
Passo 3
Agora, lembrando da fórmula geral do plano tangente para uma função
no ponto
:
No nosso caso,
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos igualar as duas expressões que temos para
:
Passo 5
Para facilitar a comparação, vamos expandir e reorganizar a equação:
Passo 6
Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos
e
de ambos os lados da equação. Observando o lado esquerdo:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é .
No lado direito:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é .
Passo 7
Igualando os coeficientes correspondentes:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são:
Exercícios relacionados
As equações paramétricas para a trocoide são
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se
.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (
) dado.
a) e
a)
Encontre o vetor posição
, se o vetor aceleração é
, sempre que
Prove que se
e
forem vetores constantes e
e
forem funções integráveis, então