Quais equações são de variáveis separáveis x y' + 3 x y = 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para identificar se a equação diferencial é de variáveis separáveis. Para isso, vamos utilizar conceitos de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis e aprender como identificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. São equações que podem ser escritas de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e todas as com do outro. Ou seja, conseguem ser separadas em funções distintas de e .

Passo 3

Vamos analisar a equação dada: . Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos tentar isolar :
Agora, temos a equação simplificada: .

Passo 5

Essa nova forma é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Porém, podemos verificar se ela é separável. Reescrevendo:
Podemos separar as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Agora, as variáveis estão separadas.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Aqui, ainda representa uma constante arbitrária.

Resposta

A equação é de variáveis separáveis e sua solução geral é , onde é uma constante.

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