Quais equações são de variáveis separáveis
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para identificar se a equação diferencial
é de variáveis separáveis. Para isso, vamos utilizar conceitos de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis e aprender como identificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. São equações que podem ser escritas de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas as com
do outro. Ou seja, conseguem ser separadas em funções distintas de
e
.
Passo 3
Vamos analisar a equação dada:
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos tentar isolar
:
Agora, temos a equação simplificada:
.
Passo 5
Essa nova forma
é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Porém, podemos verificar se ela é separável. Reescrevendo:
Podemos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Agora, as variáveis estão separadas.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Aqui,
ainda representa uma constante arbitrária.
Resposta
A equação
é de variáveis separáveis e sua solução geral é
, onde
é uma constante.