(2,o) Esboce a imagem da curva γ(t) = (e^(-t) cos(t), e^(-t) sen(t), e^(-t)) com t ∈ [0, pi]. Determine a equaçāo paramétrica para a reta tangente a curva para t = pi / 2. Para finalizar, defina outra curva beta onde Im(γ) = Im(β), mas que seus comprimentos sejam diferentes. Justifique suas respostas e interprete geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é trabalhar com uma curva paramétrica em três dimensões, esboçar o gráfico dela no intervalo de de 0 a . Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente nessa curva quando . Por fim, a gente vai definir outra curva que passa pelos mesmos pontos, mas tem um comprimento diferente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a curva no intervalo . Cada componente dessa curva depende de e envolve exponenciais e funções trigonométricas.
  • A componente
  • A componente
  • A componente
O termo faz com que todas as coordenadas diminuam à medida que aumenta, fazendo a curva “encolher” em direção à origem. As partes e indicam que, projetada no plano , a curva vai fazendo um movimento circular. Assim, no plano 3D, a curva vai se afastando em círculos que diminuem de tamanho à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto correspondente a . Para isso, precisamos calcular a derivada de , que nos dará o vetor tangente.
Primeiro, calculamos :
Agora, encontramos a derivada :
Substituindo :
A equação paramétrica da reta tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Que resulta em:

Passo 4

Agora, vamos definir outra curva que tenha a mesma imagem que , ou seja, que passe pelos mesmos pontos no espaço, mas que tenha um comprimento (ou parametrização) diferente.
Para isso, podemos reparametrizar a curva usando uma função diferente para o parâmetro. Por exemplo, podemos definir para .
Isso significa que:
A imagem de é a mesma de porque, ao variar , ainda percorremos os mesmos pontos no espaço tridimensional, apenas de forma mais rápida ou mais lenta, dependendo da função escolhida.
Geometricamente, isso significa que percorre a mesma “trajetória” no espaço que , mas o ritmo com que percorre essa trajetória é diferente. O comprimento da curva depende da parametrização, ou seja, de como o parâmetro varia ao longo da curva.

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é dada por:
Além disso, a curva possui a mesma imagem que , mas com um comprimento diferente devido à alteração na parametrização.

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