(2,o) Esboce a imagem da curva
. Determine a equaçāo paramétrica para a reta tangente a curva para
. Para finalizar, defina outra curva
onde
, mas que seus comprimentos sejam diferentes. Justifique suas respostas e interprete geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é trabalhar com uma curva paramétrica em três dimensões, esboçar o gráfico dela no intervalo de
de 0 a
. Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente nessa curva quando
. Por fim, a gente vai definir outra curva que passa pelos mesmos pontos, mas tem um comprimento diferente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a curva
no intervalo
. Cada componente dessa curva depende de
e envolve exponenciais e funções trigonométricas.
- A componente
- A componente
- A componente
O termo
faz com que todas as coordenadas diminuam à medida que
aumenta, fazendo a curva “encolher” em direção à origem. As partes
e
indicam que, projetada no plano
, a curva vai fazendo um movimento circular. Assim, no plano 3D, a curva vai se afastando em círculos que diminuem de tamanho à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto correspondente a
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
, que nos dará o vetor tangente.
Primeiro, calculamos
:
Agora, encontramos a derivada
:
Substituindo
:
A equação paramétrica da reta tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Que resulta em:
Passo 4
Agora, vamos definir outra curva
que tenha a mesma imagem que
, ou seja, que passe pelos mesmos pontos no espaço, mas que tenha um comprimento (ou parametrização) diferente.
Para isso, podemos reparametrizar a curva
usando uma função diferente para o parâmetro. Por exemplo, podemos definir
para
.
Isso significa que:
A imagem de
é a mesma de
porque, ao variar
, ainda percorremos os mesmos pontos no espaço tridimensional, apenas de forma mais rápida ou mais lenta, dependendo da função escolhida.
Geometricamente, isso significa que
percorre a mesma “trajetória” no espaço que
, mas o ritmo com que percorre essa trajetória é diferente. O comprimento da curva depende da parametrização, ou seja, de como o parâmetro varia ao longo da curva.
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é dada por:
Além disso, a curva
possui a mesma imagem que
, mas com um comprimento diferente devido à alteração na parametrização.