Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
f(x, y, z) = 3x + 6y + 2z ; 2x^2 + 4y^2 + z^2 = 70

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta da matemática usada para encontrar os valores máximos e mínimos de uma função, sujeita a uma restrição. No nosso caso, a função que queremos otimizar é e a restrição é . Vamos precisar entender como montar a função de Lagrange e resolver as equações resultantes para achar os pontos onde os valores extremos ocorrem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Essencialmente, a gente cria uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador, geralmente denotado por . A fórmula geral é:
No nosso caso, e . Então, a Lagrangiana fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , , e , e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver.
Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a (a própria restrição):

Passo 4

Agora temos um sistema de quatro equações:
  1.  → 
  2.  → 
  3.   → 
Note que e são iguais: . Vamos substituir , e em termos de na quarta equação:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de , e para cada valor de .
Para :
Para :

Passo 7

Agora que temos os pontos onde os extremos ocorrem, vamos calcular os valores de nesses pontos.
Para :
Para :

Resposta

Os valores extremos de são:
  • Máximo: 35, ocorrido no ponto .
  • Mínimo: -35, ocorrido no ponto .

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