Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta da matemática usada para encontrar os valores máximos e mínimos de uma função, sujeita a uma restrição. No nosso caso, a função que queremos otimizar é
e a restrição é
. Vamos precisar entender como montar a função de Lagrange e resolver as equações resultantes para achar os pontos onde os valores extremos ocorrem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Essencialmente, a gente cria uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador, geralmente denotado por
. A fórmula geral é:
No nosso caso,
e
. Então, a Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver.
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a própria restrição):
Passo 4
Agora temos um sistema de quatro equações:
-
→ -
→ -
→ -
Note que
e
são iguais:
. Vamos substituir
,
e
em termos de
na quarta equação:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
para cada valor de
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora que temos os pontos onde os extremos ocorrem, vamos calcular os valores de
nesses pontos.
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores extremos de
são:
- Máximo: 35, ocorrido no ponto
. - Mínimo: -35, ocorrido no ponto
.