Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI dado tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo inicial, ou seja:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber se essa EDO tem uma solução única e em que intervalo essa solução existe. Para aplicar esse teorema, precisamos garantir que a função envolvida seja contínua e satisfaça uma condição de Lipschitz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
. Precisamos verificar se ela é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz na região em que estamos interessados. A função
é um polinômio, então ela é contínua em todo lugar. Além disso, a derivada de
em relação a
é
, que também é contínua. Isso significa que a função
satisfaz a condição de Lipschitz.
Passo 3
Como a função atende aos critérios do teorema, podemos afirmar que existe uma solução única para o nosso problema inicial. Agora, vamos resolver a EDO para encontrar essa solução. A equação
pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução da EDO é:
Passo 4
Por fim, vamos determinar o intervalo de existência dessa solução. Observando a expressão
, percebemos que ela fica indefinida quando
, ou seja, quando
. Portanto, a solução existe para todos os valores de
que são menores que 1.
Resposta
A EDO
, com condição inicial
, tem uma solução única dada por
. O intervalo de existência dessa solução é para todos os
.