Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI dado tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.
y' = y^2, y(0) = 1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo inicial, ou seja:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber se essa EDO tem uma solução única e em que intervalo essa solução existe. Para aplicar esse teorema, precisamos garantir que a função envolvida seja contínua e satisfaça uma condição de Lipschitz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função . Precisamos verificar se ela é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz na região em que estamos interessados. A função é um polinômio, então ela é contínua em todo lugar. Além disso, a derivada de em relação a é , que também é contínua. Isso significa que a função satisfaz a condição de Lipschitz.

Passo 3

Como a função atende aos critérios do teorema, podemos afirmar que existe uma solução única para o nosso problema inicial. Agora, vamos resolver a EDO para encontrar essa solução. A equação pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução da EDO é:

Passo 4

Por fim, vamos determinar o intervalo de existência dessa solução. Observando a expressão , percebemos que ela fica indefinida quando , ou seja, quando . Portanto, a solução existe para todos os valores de que são menores que 1.

Resposta

A EDO , com condição inicial , tem uma solução única dada por . O intervalo de existência dessa solução é para todos os .

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