A equipe técnica de uma empresa testou o teor de gordura ( Y ) dos produtos da marca x1 em um experimento com 12 repetições. Sabendo-se que os valores aleatórios de Y são normalmente distribuídos, pode-se concluir, com base no teste t de Student, que essa marca satisfaz à exigência de média paramétrica inferior a 10(alpha=0,05) ? Por quê?
10,0 9,5 8,7 9,6 10,9 8,8 10,8 9,9 8,8 10,6 10,4 9,7

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pergunta sobre se a média do teor de gordura dos produtos da marca x1 é menor que 10, usando um teste t de Student com nível de significância alpha = 0,05. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão, o erro padrão, e depois usar essas informações para fazer o teste t.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos valores de gordura que foram medidos. Temos os seguintes valores:
10,0; , 9,5; , 8,7; , 9,6; , 10,9; , 8,8; , 10,8; , 9,9; , 8,8; , 10,6; , 10,4; , 9,7
Somando todos esses valores:
10,0 + 9,5 + 8,7 + 9,6 + 10,9 + 8,8 + 10,8 + 9,9 + 8,8 + 10,6 + 10,4 + 9,7 = 116,2
Agora, dividimos pela quantidade de observações, que são 12:
barY = 116,212 approx 9,68

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, encontramos a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Calculando cada diferença:
10,0 - 9,68 &= 0,32 9,5 - 9,68 &= -0,18 8,7 - 9,68 &= -0,98 9,6 - 9,68 &= -0,08 10,9 - 9,68 &= 1,22 8,8 - 9,68 &= -0,88 10,8 - 9,68 &= 1,12 9,9 - 9,68 &= 0,22 8,8 - 9,68 &= -0,88 10,6 - 9,68 &= 0,92 10,4 - 9,68 &= 0,72 9,7 - 9,68 &= 0,02
Elevando cada diferença ao quadrado e somando:
(0,32)^2 + (-0,18)^2 + (-0,98)^2 + (-0,08)^2 + (1,22)^2 + (-0,88)^2 + (1,12)^2 + (0,22)^2 + (-0,88)^2 + (0,92)^2 + (0,72)^2 + (0,02)^2 approx 5,8456
Agora, calculamos o desvio padrão:
s = raiz5,845612 - 1 = raiz5,845611 approx raiz0,5314 approx 0,73

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
SE = sraizn = 0,73raiz12 approx 0,733,464 approx 0,21

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste t usando a fórmula:
t = barY - mu0SE = 9,68 - 100,21 approx -0,320,21 approx -1,52

Passo 6

Precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral com alpha = 0,05 e df = n - 1 = 11. Consultando a tabela t de Student, encontramos:
tcrítico approx -1,796 í

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
-1,52 > -1,796
Como t calculado não é menor que tcríticoí, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não, com alpha = 0,05, não podemos concluir que a média do teor de gordura da marca x1 é inferior a 10.

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