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Considere um material semicondutor com a energia de Fermi no centro da banda proibida. Calcule a probabilidade de que um estado na parte inferior da banda de condução esteja preenchido a uma temperatura igual a 300 K e 310 K , considerando o valor de para a largura da banda proibida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de física de semicondutores. O enunciado diz que a energia de Fermi está no meio da banda proibida e pede para calcular a probabilidade de um estado na parte inferior da banda de condução estar preenchido a duas temperaturas diferentes: 300 K e 310 K. Para resolver isso, vamos precisar usar a distribuição de Fermi-Dirac, que nos ajuda a saber a probabilidade de ocupação de estados eletrônicos em diferentes energias e temperaturas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a energia de Fermi estar no centro da banda proibida. A banda proibida é a diferença de energia entre a banda de valência e a banda de condução. Se a largura da banda proibida é de , então a energia de Fermi ( ) está exatamente no meio, ou seja:
Isso significa que a banda de condução começa a acima do nível de Fermi.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de um estado na parte inferior da banda de condução estar preenchido. Para isso, usamos a fórmula da distribuição de Fermi-Dirac:
Onde:
  • é a probabilidade de ocupação do estado de energia .
  • é a energia de Fermi.
  • é a constante de Boltzmann ( ).
  • é a temperatura em Kelvin.
No nosso caso, estamos interessados em um estado na banda de condução, então a energia desse estado é .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, calculamos para :
Calculando o expoente:
Então:

Passo 5

Agora, vamos repetir o cálculo para :
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

A probabilidade de um estado na parte inferior da banda de condução estar preenchido é aproximadamente 2,06% a 300 K e 2,31% a 310 K.

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