Calcule a integral:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de
no intervalo de 0 até
. Vamos usar cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão da tangente para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que
. Então, podemos expressar
como
:
Passo 3
Agora, vamos tentar integrar termo a termo:
Mas integrar
não é tão simples. Então, vamos usar uma outra técnica: a integração por partes ou redução de potência.
Passo 4
Vamos usar a identidade de redução de potência para integrar
. Sabemos que:
Aplicando isso para
:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Usando a identidade
, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral definida de 0 até
:
Primeiro, avaliando em
:
Depois, avaliando em 0:
Resposta
Assim, o valor da integral é: