Calcule a integral:
integral0^pi / 4 tan ^4 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de 0 até . Vamos usar cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão da tangente para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^4 x = (sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1 de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que . Então, podemos expressar como :

Passo 3

Agora, vamos tentar integrar termo a termo:
integral tan^4 x , dx = integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) , dx
Mas integrar não é tão simples. Então, vamos usar uma outra técnica: a integração por partes ou redução de potência.

Passo 4

Vamos usar a identidade de redução de potência para integrar integral tan^n x , dx = tan^n-1 xn-1 - integral tan^n-2 x , dx . Sabemos que:
integral tan^4 x , dx = tan^3 x3 - integral tan^2 x , dx
Aplicando isso para :

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral tan^2 x , dx = integral (sec^2 x - 1) , dx = tan x - x + C . Usando a identidade , temos:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral tan^4 x , dx = tan^3 x3 - (tan x - x) + C = tan^3 x3 - tan x + x + C

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 até [ tan^3 x3 - tan x + x ]0^pi/4 :
tan(pi4) = 1
Primeiro, avaliando em 1^33 - 1 + pi4 = 13 - 1 + pi4 = -23 + pi4 :
tan(0) = 0
03 - 0 + 0 = 0
Depois, avaliando em 0:

Resposta

Assim, o valor da integral é:
pi4 - 23

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