Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: w(t) = t^2 i + t j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o hodógrafo da função vetorial . Basicamente, um hodógrafo é o gráfico que representa a trajetória de um vetor no plano, mostrando como suas componentes i e vec(j) variam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e como plotar suas trajetórias no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função vetorial dada: . Aqui, i e vec(j) são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que a componente x da nossa função vetorial é t^2 e a componente y é t. Para esboçar o hodógrafo, precisamos relacionar essas duas componentes, eliminando o parâmetro t.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro t, vamos expressar t em termos de uma das componentes e substituir na outra. Olhando para a componente y, temos:
Então, podemos resolver para t:
Agora, substituímos esse valor de t na componente x:

Passo 4

Agora, temos a relação entre x e y:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a direita no plano cartesiano. Isso significa que, conforme y varia, x será sempre o quadrado de y, formando uma curva parabólica.

Passo 5

Com essa equação em mãos, podemos esboçar o hodógrafo. Vamos plotar alguns pontos para ajudar no desenho:
  • Se , então x = 0
  • Se , então x = 1
  • Se , então x = 1
  • Se , então
  • Se , então
Plotando esses pontos, vemos que a curva é simétrica em relação ao eixo x e forma uma parábola que se abre para a direita.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma parábola definida pela equação no plano cartesiano, aberta para a direita.

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