Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o hodógrafo da função vetorial
. Basicamente, um hodógrafo é o gráfico que representa a trajetória de um vetor no plano, mostrando como suas componentes
e
variam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e como plotar suas trajetórias no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função vetorial dada:
. Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que a componente x da nossa função vetorial é
e a componente y é
. Para esboçar o hodógrafo, precisamos relacionar essas duas componentes, eliminando o parâmetro
.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro
, vamos expressar
em termos de uma das componentes e substituir na outra. Olhando para a componente y, temos:
Então, podemos resolver para
:
Agora, substituímos esse valor de
na componente x:
Passo 4
Agora, temos a relação entre
e
:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a direita no plano cartesiano. Isso significa que, conforme
varia,
será sempre o quadrado de
, formando uma curva parabólica.
Passo 5
Com essa equação em mãos, podemos esboçar o hodógrafo. Vamos plotar alguns pontos para ajudar no desenho:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então - Se
, então - Se
, então
Plotando esses pontos, vemos que a curva é simétrica em relação ao eixo x e forma uma parábola que se abre para a direita.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma parábola definida pela equação
no plano cartesiano, aberta para a direita.