Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas:
а) integral0^1 integralx^2 pi(2 x+4 y) d y d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver: . Isso envolve o cálculo de integrais iteradas, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, precisamos entender como desenhar a região de integração no plano xy e depois calcular as integrais passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Então, no plano xy, desenhamos uma linha vertical de a . Para cada nesse intervalo, começa na linha (uma reta diagonal) e vai até (uma linha horizontal).

Passo 3

Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral (2x) , dy = 2x cdot y . A função que vamos integrar é integral (4y) , dy = 2y^2 . Primeiro, integramos integralx^2pi (2x + 4y) , dy = 2x cdot y + 2y^2 |y = x^y = 2pi em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de 2x cdot (2pi) + 2(2pi)^2 = 4pi x + 8pi^2 :
Para 2x cdot x + 2x^2 = 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 :
(4pi x + 8pi^2) - (4x^2) = 4pi x + 8pi^2 - 4x^2
Para :
Subtraindo as duas expressões:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 (4pi x + 8pi^2 - 4x^2) , dx , de 0 a 1:
integral 4pi x , dx = 2pi x^2
Vamos integrar termo a termo:
integral 8pi^2 , dx = 8pi^2 x
integral -4x^2 , dx = -43x^3
2pi x^2 + 8pi^2 x - 43x^3 |0^1
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos avaliar nos limites de 2pi (1)^2 + 8pi^2 (1) - 43(1)^3 = 2pi + 8pi^2 - 43 :
Para 2pi (0)^2 + 8pi^2 (0) - 43(0)^3 = 0 :
(2pi + 8pi^2 - 43) - 0 = 2pi + 8pi^2 - 43
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y = e^(2x)/x con y(1) = 0, y'(1) = 1
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
f) f(x) = sen^3(x);
Dado o ponto P(-1,4) e f(x, y)=raizx^2+y^2, calcule: partial f(P)partial x
R: partial f(-1,4)partial x=-raiz1717