Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas:
а) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver: . Isso envolve o cálculo de integrais iteradas, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, precisamos entender como desenhar a região de integração no plano xy e depois calcular as integrais passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Então, no plano xy, desenhamos uma linha vertical de a . Para cada nesse intervalo, começa na linha (uma reta diagonal) e vai até (uma linha horizontal).
Passo 3
Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral interna, que é em relação a . A função que vamos integrar é . Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de 2x cdot (2pi) + 2(2pi)^2 = 4pi x + 8pi^2 :
Para 2x cdot x + 2x^2 = 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 :
(4pi x + 8pi^2) - (4x^2) = 4pi x + 8pi^2 - 4x^2
Para :
Subtraindo as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 (4pi x + 8pi^2 - 4x^2) , dx , de 0 a 1:
integral 4pi x , dx = 2pi x^2
Vamos integrar termo a termo:
integral 8pi^2 , dx = 8pi^2 x
integral -4x^2 , dx = -43x^3
2pi x^2 + 8pi^2 x - 43x^3 |0^1
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos avaliar nos limites de 2pi (1)^2 + 8pi^2 (1) - 43(1)^3 = 2pi + 8pi^2 - 43 :