Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
g) x >= 0, y >= 0, x + y <= 1 e 0 <= z <= x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar um sólido e calcular o volume dele. A gente está trabalhando com geometria espacial e cálculo de volumes. Para isso, vamos precisar entender as restrições dadas pelas inequações e usar integração para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as inequações que definem o sólido:
  • : Isso significa que o sólido está no lado positivo do eixo x.
  • : Similarmente, o sólido está no lado positivo do eixo y.
  • : Essa é uma reta que define um triângulo no primeiro quadrante.
  • : A altura z varia de 0 até .

Passo 3

Vamos esboçar o sólido. No plano xy, as inequações , e formam um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Para cada ponto nesse triângulo, a altura z vai de 0 até , formando uma superfície parabólica acima do triângulo.

Passo 4

Agora, para calcular o volume, vamos usar a integração dupla. O volume V pode ser encontrado integrando sobre a região triangular definida pelas inequações no plano xy.
A fórmula para o volume é:
onde D é a região triangular com , e .

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração. Na região D, para um dado x entre 0 e 1, y varia de 0 até . Então, os limites são:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a y:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a x:
Vamos simplificar os termos:

Passo 8

Integrando termo a termo:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas abaixo.
c) Seja D = {(x, y, z) ∈ R³ | 1 <= z <= 5 - x² - y², x² + y ≥ 1}. Se a densidade no ponto P = (x, y, z) em D é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano x y, determine a massa e o centro de massa de D.
Calcule as integrais impróprias:
g) integral duplaD d x d yraiz[3](x-y)^2, D:|x| <= 1,|y| <= 1
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
k) Sólido do primeiro octante limitado pelas super-
fícies x + z^2 = 1, x = y e x = y^2.
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
g) x = y, x = 2y, x + y = a e x + 3y = a (a > 0).