Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
g) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar um sólido e calcular o volume dele. A gente está trabalhando com geometria espacial e cálculo de volumes. Para isso, vamos precisar entender as restrições dadas pelas inequações e usar integração para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as inequações que definem o sólido:
: Isso significa que o sólido está no lado positivo do eixo x.
: Similarmente, o sólido está no lado positivo do eixo y.
: Essa é uma reta que define um triângulo no primeiro quadrante.
: A altura z varia de 0 até .
Passo 3
Vamos esboçar o sólido. No plano xy, as inequações , e formam um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Para cada ponto nesse triângulo, a altura z vai de 0 até , formando uma superfície parabólica acima do triângulo.
Passo 4
Agora, para calcular o volume, vamos usar a integração dupla. O volume V pode ser encontrado integrando sobre a região triangular definida pelas inequações no plano xy.
A fórmula para o volume é:
onde D é a região triangular com , e .
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração. Na região D, para um dado x entre 0 e 1, y varia de 0 até . Então, os limites são: