Vamos calcular a integral imprópria dupla , onde a região é definida por e . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos utilizar a substituição de variáveis que simplifica a expressão da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral. Definimos:
Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.
Passo 3
O Jacobiano da transformação é dado por:
Portanto, .
Passo 4
Agora, substituímos as variáveis na integral original:
integral duplaD dx, dyraiz[3](x-y)^2 = integral duplaD' 1raiz[3]u^2 cdot 12 du, dv
Onde é a região transformada pelas novas variáveis e . Como e , os limites para e são ambos de -2 a 2.
Passo 5
A integral se simplifica para:
12 integral-2^2 integral-2^2 1raiz[3]u^2 du, dv
Observamos que o integrando depende apenas de 12 ( integral-2^2 1|u|^2/3 du ) ( integral-2^2 dv ) , então podemos separar as integrais:
Passo 6
Calculamos cada integral separadamente:
integral-2^2 dv = 4
E
integral-2^2 1|u|^2/3 du = 2 integral0^2 1u^2/3 du = 2 [ 3 u^1/3 ]0^2 = 6 cdot 2^1/3