Calcule as integrais impróprias:
g) integral duplaD d x d yraiz[3](x-y)^2, D:|x| <= 1,|y| <= 1

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria dupla , onde a região é definida por e . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos utilizar a substituição de variáveis que simplifica a expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral. Definimos:
u = x - y e v = x + y
Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.

Passo 3

O Jacobiano J = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & -1 1 & 1 = (1)(1) - (-1)(1) = 2 da transformação é dado por:
Portanto, .

Passo 4

Agora, substituímos as variáveis na integral original:
integral duplaD dx, dyraiz[3](x-y)^2 = integral duplaD' 1raiz[3]u^2 cdot 12 du, dv
Onde é a região transformada pelas novas variáveis e . Como e , os limites para e são ambos de -2 a 2.

Passo 5

A integral se simplifica para:
12 integral-2^2 integral-2^2 1raiz[3]u^2 du, dv
Observamos que o integrando depende apenas de 12 ( integral-2^2 1|u|^2/3 du ) ( integral-2^2 dv ) , então podemos separar as integrais:

Passo 6

Calculamos cada integral separadamente:
integral-2^2 dv = 4
E
integral-2^2 1|u|^2/3 du = 2 integral0^2 1u^2/3 du = 2 [ 3 u^1/3 ]0^2 = 6 cdot 2^1/3
Portanto, a integral completa fica:
12 cdot 6 cdot 2^1/3 cdot 4 = 12 cdot 2^1/3

Resposta

A integral imprópria vale .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais impróprias:
b) integral duplaR^2 d x d y(1+x^2+y^2)^p
Calcule as integrais.
a) integral duplaD(x^2+2 y) d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4.
Resolva os problemas abaixo.
c) Seja D = {(x, y, z) ∈ R³ | 1 <= z <= 5 - x² - y², x² + y ≥ 1}. Se a densidade no ponto P = (x, y, z) em D é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano x y, determine a massa e o centro de massa de D.
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
g) x >= 0, y >= 0, x + y <= 1 e 0 <= z <= x^2 + y^2.