Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
g)
e
.
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões que ficam entre as curvas
,
,
e
usando integrais duplas. Então, vamos explorar um pouco de cálculo integral para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano. As equações
e
são retas que passam pela origem, com inclinações diferentes. As equações
e
também são retas, mas deslocadas dependendo do valor de
.
Passo 3
Para calcular a área entre essas curvas, precisamos encontrar os pontos de interseção delas. Isso nos ajuda a definir os limites de integração para a integral dupla.
Passo 4
Vamos encontrar onde
corta
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar onde
corta
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 6
Vamos repetir o processo para as outras interseções:
Interseção de
com
:
Ponto:
.
Interseção de
com
:
Ponto:
.
Passo 7
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar que existem duas regiões delimitadas por essas curvas. Vamos focar em uma delas para calcular a área.
Passo 8
Vamos escolher integrar em relação a
primeiro e depois a
. Para isso, precisamos expressar
em função de
para os limites inferior e superior.
Passo 9
Observando as interseções, para
variando de
a
, as funções de
inferior e superior são:
Passo 10
Agora, montamos a integral dupla para a área
:
Passo 11
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Passo 12
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 13
Calculando a integral:
Passo 14
Simplificando os denominadores:
Então:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
.
Exercícios relacionados
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
k) Sólido do primeiro octante limitado pelas super-
fícies e
.
k) Sólido do primeiro octante limitado pelas super-
fícies
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
g) e
.
g)
Calcule o volume dos seguintes sólidos.
a) O sólido limitado pelo elipsóide .
a) O sólido limitado pelo elipsóide
Calcule as integrais impróprias:
c)
c)