Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
g) x = y, x = 2y, x + y = a e x + 3y = a (a > 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões que ficam entre as curvas , , e usando integrais duplas. Então, vamos explorar um pouco de cálculo integral para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano. As equações e são retas que passam pela origem, com inclinações diferentes. As equações e também são retas, mas deslocadas dependendo do valor de .

Passo 3

Para calcular a área entre essas curvas, precisamos encontrar os pontos de interseção delas. Isso nos ajuda a definir os limites de integração para a integral dupla.

Passo 4

Vamos encontrar onde corta :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde corta :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Vamos repetir o processo para as outras interseções:
Interseção de com :
Ponto: .
Interseção de com :
Ponto: .

Passo 7

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar que existem duas regiões delimitadas por essas curvas. Vamos focar em uma delas para calcular a área.

Passo 8

Vamos escolher integrar em relação a primeiro e depois a . Para isso, precisamos expressar em função de para os limites inferior e superior.

Passo 9

Observando as interseções, para variando de a , as funções de inferior e superior são:

Passo 10

Agora, montamos a integral dupla para a área :

Passo 11

Vamos calcular a integral interna primeiro:

Passo 12

Agora, substituímos na integral externa:

Passo 13

Calculando a integral:

Passo 14

Simplificando os denominadores:
Então:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é .

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Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
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