Resolva os problemas abaixo.
c) Seja . Se a densidade no ponto é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano , determine a massa e o centro de massa de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a massa e o centro de massa de uma região no espaço 3D chamada . Essa região é definida por duas condições:
A altura está entre e .
A combinação é maior ou igual a .
Além disso, a densidade em cada ponto da região é proporcional à distância desse ponto ao plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas e conceitos de centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade. A distância de um ponto ao plano é simplesmente a coordenada . Como a densidade é proporcional a essa distância, podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a massa total da região . A massa é dada pela integral da densidade sobre a região:
Passo 4
Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular em e . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
As condições da região ficam:
Passo 5
Vamos expressar a massa na coordenadas cilíndricas:
Mas na verdade, como , temos que , ou seja, . Então, os limites para são de a .
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Passo 7
Substituindo de volta na integral de :
Podemos simplificar:
Passo 8
Vamos expandir :
Então,
Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos multiplicar dentro da integral:
Então,
Passo 10
Calculando a integral em :
Somando tudo:
Passo 11
Agora, substituindo de volta na integral de :
Então, a massa total é:
Passo 12
Agora, vamos calcular o centro de massa . Devido à simetria da região D em relação aos eixos x e y, podemos ver que e .
Focaremos no cálculo de :
Passo 13
Vamos calcular a integral em coordenadas cilíndricas:
Calculando a integral em z:
Passo 14
Substituindo de volta na integral:
Explicando que pode ser expandido, mas para simplificação tempo é melhor integrar diretamente.
Passo 15
Calculando a integral em r:
Expanda :
Então,
Multiplicando por r:
Integrando de 1 a :
Somando tudo:
Passo 16
Substituindo de volta na integral de :
Passo 17
Agora, calculando :
Resposta
A massa de D é e o centro de massa está localizado em .