Resolva os problemas abaixo.
c) Seja D = {(x, y, z) ∈ R³ | 1 <= z <= 5 - x² - y², x² + y ≥ 1}. Se a densidade no ponto P = (x, y, z) em D é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano x y, determine a massa e o centro de massa de D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a massa e o centro de massa de uma região no espaço 3D chamada D. Essa região é definida por duas condições:
  1. A altura z está entre 1 e .
  2. A combinação é maior ou igual a 1.
Além disso, a densidade em cada ponto da região D é proporcional à distância desse ponto ao plano xy. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas e conceitos de centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade. A distância de um ponto (x, y, z) ao plano xy é simplesmente a coordenada z. Como a densidade é proporcional a essa distância, podemos escrever:
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a massa total M da região D. A massa é dada pela integral da densidade sobre a região:

Passo 4

Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região D tem simetria circular em x e y. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
As condições da região D ficam:

Passo 5

Vamos expressar a massa M na coordenadas cilíndricas:
Mas na verdade, como , temos que , ou seja, 1 <= r <= 2. Então, os limites para r são de 1 a .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:

Passo 7

Substituindo de volta na integral de M:
Podemos simplificar:

Passo 8

Vamos expandir :
Então,
Substituindo na integral:

Passo 9

Vamos multiplicar r dentro da integral:
Então,

Passo 10

Calculando a integral em r:
Somando tudo:

Passo 11

Agora, substituindo de volta na integral de M:
Então, a massa total é:

Passo 12

Agora, vamos calcular o centro de massa . Devido à simetria da região D em relação aos eixos x e y, podemos ver que e .
Focaremos no cálculo de :

Passo 13

Vamos calcular a integral em coordenadas cilíndricas:
Calculando a integral em z:

Passo 14

Substituindo de volta na integral:
Explicando que pode ser expandido, mas para simplificação tempo é melhor integrar diretamente.

Passo 15

Calculando a integral em r:
Expanda :
Então,
Multiplicando por r:
Integrando de 1 a :
Somando tudo:

Passo 16

Substituindo de volta na integral de :

Passo 17

Agora, calculando :

Resposta

A massa de D é e o centro de massa está localizado em .

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