Esboce o campo vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o campo vetorial da função dada, que é
. Isso faz parte do conteúdo de Campos Vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial e como representá-lo graficamente no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Um campo vetorial atribui um vetor para cada ponto em uma região do espaço. No nosso caso, como a função é de duas variáveis (
e
), estamos lidando com um campo vetorial no plano 2D. O vetor
significa que, para cada ponto
, o vetor tem componentes
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as componentes do vetor. A representação
indica que:
- A componente na direção
é . - A componente na direção
é . - A componente na direção
é (mas como estamos em 2D, podemos ignorar essa parte).
Então, basicamente, para cada ponto
no plano, o vetor aponta na direção
com magnitude proporcional a
e não tem componente na direção
.
Passo 4
Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular o vetor
em cada um deles. Por exemplo:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Isso nos mostra que os vetores estão sempre na direção
, e a direção depende do sinal de
. Se
é positivo, o vetor aponta na direção negativa de
, e se
é negativo, aponta na direção positiva de
.
Passo 5
Vamos visualizar isso. Imagine o plano
:
- Para pontos acima do eixo
( ), os vetores apontam para a esquerda (direção negativa de ). - Para pontos abaixo do eixo
( ), os vetores apontam para a direita (direção positiva de ). - No eixo
( ), os vetores são nulos, já que .
Essa simetria cria um padrão onde os vetores estão sempre alinhados horizontalmente, dependendo da posição em
.
Resposta
Então, o esboço do campo vetorial
consiste em vetores horizontais que apontam para a esquerda acima do eixo
e para a direita abaixo do eixo
, com vetores nulos no próprio eixo
. O gráfico mostraria essa disposição, refletindo a dependência da direção do vetor em relação ao valor de
.
Exercícios relacionados
Esboce o campo vetorial
.
Esboce o campo vetorial
.
Calcule o fluxo de
através da superfície:
(f) para fora da porção de cilindro
, delimitado pelos pla
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
(f)
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.