Esboce o campo vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o campo vetorial da função dada, que é . Isso faz parte do conteúdo de Campos Vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial e como representá-lo graficamente no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Um campo vetorial atribui um vetor para cada ponto em uma região do espaço. No nosso caso, como a função é de duas variáveis ( e ), estamos lidando com um campo vetorial no plano 2D. O vetor significa que, para cada ponto , o vetor tem componentes .

Passo 3

Agora, vamos analisar as componentes do vetor. A representação indica que:
  • A componente na direção é .
  • A componente na direção é .
  • A componente na direção é (mas como estamos em 2D, podemos ignorar essa parte).
Então, basicamente, para cada ponto no plano, o vetor aponta na direção com magnitude proporcional a e não tem componente na direção .

Passo 4

Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular o vetor em cada um deles. Por exemplo:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Isso nos mostra que os vetores estão sempre na direção , e a direção depende do sinal de . Se é positivo, o vetor aponta na direção negativa de , e se é negativo, aponta na direção positiva de .

Passo 5

Vamos visualizar isso. Imagine o plano :
  • Para pontos acima do eixo ( ), os vetores apontam para a esquerda (direção negativa de ).
  • Para pontos abaixo do eixo ( ), os vetores apontam para a direita (direção positiva de ).
  • No eixo ( ), os vetores são nulos, já que .
Essa simetria cria um padrão onde os vetores estão sempre alinhados horizontalmente, dependendo da posição em .

Resposta

Então, o esboço do campo vetorial consiste em vetores horizontais que apontam para a esquerda acima do eixo e para a direita abaixo do eixo , com vetores nulos no próprio eixo . O gráfico mostraria essa disposição, refletindo a dependência da direção do vetor em relação ao valor de .

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