Esboce o campo vetorial F.
dF(x, y) = (-y, 0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o campo vetorial da função dada, que é . Isso faz parte do conteúdo de Campos Vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial e como representá-lo graficamente no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Um campo vetorial atribui um vetor para cada ponto em uma região do espaço. No nosso caso, como a função é de duas variáveis ( x e y), estamos lidando com um campo vetorial no plano 2D. O vetor significa que, para cada ponto (x, y), o vetor tem componentes .

Passo 3

Agora, vamos analisar as componentes do vetor. A representação indica que:
  • A componente na direção x é -y.
  • A componente na direção y é 0.
  • A componente na direção z é 0 (mas como estamos em 2D, podemos ignorar essa parte).
Então, basicamente, para cada ponto (x, y) no plano, o vetor aponta na direção x com magnitude proporcional a -y e não tem componente na direção y.

Passo 4

Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular o vetor F em cada um deles. Por exemplo:
  • Em (1, 1):
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Isso nos mostra que os vetores estão sempre na direção x, e a direção depende do sinal de y. Se y é positivo, o vetor aponta na direção negativa de x, e se y é negativo, aponta na direção positiva de x.

Passo 5

Vamos visualizar isso. Imagine o plano xy:
  • Para pontos acima do eixo x ( ), os vetores apontam para a esquerda (direção negativa de x).
  • Para pontos abaixo do eixo x ( ), os vetores apontam para a direita (direção positiva de x).
  • No eixo x ( ), os vetores são nulos, já que .
Essa simetria cria um padrão onde os vetores estão sempre alinhados horizontalmente, dependendo da posição em y.

Resposta

Então, o esboço do campo vetorial consiste em vetores horizontais que apontam para a esquerda acima do eixo x e para a direita abaixo do eixo x, com vetores nulos no próprio eixo x. O gráfico mostraria essa disposição, refletindo a dependência da direção do vetor em relação ao valor de y.

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