(a) Seja . Decida se é derivável e em caso afirmativo calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é decidir se essa função é derivável e, se for, calcular sua derivada . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a ligar integrais e derivadas.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo tem duas partes. A que vamos usar aqui diz que se temos uma função definida como uma integral:
então, se for contínua no intervalo considerado, a função é derivável, e sua derivada é simplesmente a função . Ou seja,
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de . A função cosseno é contínua em todo o seu domínio, e também é uma função contínua. A composição de funções contínuas é contínua, então é contínua para todo .

Passo 4

Como é contínua no intervalo de integração de a , podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Portanto, a função é derivável em , e sua derivada é simplesmente .

Passo 5

Aplicando o teorema, temos:

Resposta

A função é derivável, e sua derivada é .

Exercícios relacionados

Use polinômio de Taylor com centro em para estimar com erro, em módulo, inferior a . Apresente seus cálculos detalhados.
Esboce o conjunto
e calcule sua área.
Calcule
Resolva a inequação .