(a) Seja F(x)=integral0^x cos t^3 dt, x in R. Decida se F é derivável e em caso afirmativo calcule F^prime(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
F(x) = integral0^x cos t^3 , dt
Nosso objetivo é decidir se essa função F é derivável e, se for, calcular sua derivada F^prime(x). Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a ligar integrais e derivadas.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo tem duas partes. A que vamos usar aqui diz que se temos uma função definida como uma integral:
F(x) = integrala^x f(t) , dt
então, se f for contínua no intervalo considerado, a função F é derivável, e sua derivada é simplesmente a função f(x). Ou seja,
F^prime(x) = f(x)
No nosso caso, f(t) = cos t^3.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de f(t) = cos t^3. A função cosseno é contínua em todo o seu domínio, e t^3 também é uma função contínua. A composição de funções contínuas é contínua, então f(t) é contínua para todo t in R.

Passo 4

Como f(t) = cos t^3 é contínua no intervalo de integração de 0 a x, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Portanto, a função F(x) é derivável em R, e sua derivada é simplesmente f(x).

Passo 5

Aplicando o teorema, temos:
F^prime(x) = cos x^3

Resposta

A função F é derivável, e sua derivada é F^prime(x) = cos x^3.

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