(a) Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é decidir se essa função
é derivável e, se for, calcular sua derivada
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a ligar integrais e derivadas.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo tem duas partes. A que vamos usar aqui diz que se temos uma função definida como uma integral:
então, se
for contínua no intervalo considerado, a função
é derivável, e sua derivada é simplesmente a função
. Ou seja,
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
. A função cosseno é contínua em todo o seu domínio, e
também é uma função contínua. A composição de funções contínuas é contínua, então
é contínua para todo
.
Passo 4
Como
é contínua no intervalo de integração de
a
, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Portanto, a função
é derivável em
, e sua derivada é simplesmente
.
Passo 5
Aplicando o teorema, temos:
Resposta
A função
é derivável, e sua derivada é
.
Exercícios relacionados
Use polinômio de Taylor com centro em
para estimar
com erro, em módulo, inferior a
. Apresente seus cálculos detalhados.
Esboce o conjunto
e calcule sua área.
Calcule
Resolva a inequação
.