Esboce a curva:
(para i) pode considerar que
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e o desafio é esboçar o gráfico dessa curva. Isso envolve entender conceitos de funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como identificar pontos importantes como interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, além de pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui, temos duas partes principais:
, que é uma função polinomial de primeiro grau, e
, que é uma função exponencial decrescente. A multiplicação dessas duas funções cria um gráfico que combina comportamentos dessas duas partes.
Passo 3
Vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde a curva cruza os eixos x e y.
-
Para o intercepto y, colocamos
: Então, o intercepto y é (0, 0). -
Para os interceptos x, resolvemos
: A única solução é, então o intercepto x também é (0, 0).
Passo 4
Agora, vamos verificar o comportamento da função para valores grandes e pequenos de
:
-
Quando
vai para : Isso porque o termo exponencial decresce mais rápido que o termo linear cresce. -
Quando
vai para : [
e^{-x} ) se tornagrande, mas como é negativo, tende a .
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas para identificar onde a função cresce ou decresce e encontrar pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de
usando a regra do produto é:
- Sinal da derivada:
- Se
(ou seja, ), : a função está crescendo. - Se
(ou seja, ), : a função está decrescendo.
- Se
Isso indica que a função tem um ponto de máximo em
.
Passo 6
Vamos calcular o valor do ponto de máximo substituindo
na função:
Então, o ponto de máximo é aproximadamente
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pela origem (0,0).
- Cresce até
, atingindo o máximo em . - Após
, a função decresce e se aproxima de 0 à medida que aumenta. - Para
, a função desce para .
Resposta
O esboço da curva
tem um ponto de máximo em
, passa pela origem, cresce até
, decresce para valores positivos de
e tende a 0 conforme
aumenta. Para
, a função desce para
.
Exercícios relacionados
Se
é um polinômio qualquer, portanto,
também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de
existe pelo menos uma raiz de
.
Para cada uma das funções encontre os máximos e mínimos locais e globais no domínio dado:
Calcule os seguintes limites:
Seja
uma função derivável tal que
para todo
. Mostre que existe um
tal que
para todo
. ( Sugestão: considere a função
e use (a)).