Esboce a curva:
(para i) pode considerar que )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e o desafio é esboçar o gráfico dessa curva. Isso envolve entender conceitos de funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como identificar pontos importantes como interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, além de pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, temos duas partes principais: , que é uma função polinomial de primeiro grau, e , que é uma função exponencial decrescente. A multiplicação dessas duas funções cria um gráfico que combina comportamentos dessas duas partes.

Passo 3

Vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde a curva cruza os eixos x e y.
  • Para o intercepto y, colocamos :
    Então, o intercepto y é (0, 0).
  • Para os interceptos x, resolvemos :
    A única solução é , então o intercepto x também é (0, 0).

Passo 4

Agora, vamos verificar o comportamento da função para valores grandes e pequenos de :
  • Quando vai para :
    Isso porque o termo exponencial decresce mais rápido que o termo linear cresce.
  • Quando vai para :
    [
    e^{-x} ) se torna grande, mas como é negativo, tende a .

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas para identificar onde a função cresce ou decresce e encontrar pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de usando a regra do produto é:
  • Sinal da derivada:
    • Se (ou seja, ), : a função está crescendo.
    • Se (ou seja, ), : a função está decrescendo.
Isso indica que a função tem um ponto de máximo em .

Passo 6

Vamos calcular o valor do ponto de máximo substituindo na função:
Então, o ponto de máximo é aproximadamente .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pela origem (0,0).
  • Cresce até , atingindo o máximo em .
  • Após , a função decresce e se aproxima de 0 à medida que aumenta.
  • Para , a função desce para .

Resposta

O esboço da curva tem um ponto de máximo em , passa pela origem, cresce até , decresce para valores positivos de e tende a 0 conforme aumenta. Para , a função desce para .

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