Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar como essas funções se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Sabemos que o logaritmo de uma potência pode ser simplificado usando a regra:
Então, aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nossa expressão fica:

Passo 3

Vamos reescrever a raiz quinta para facilitar a comparação com o logaritmo:
Então, a expressão agora é:

Passo 4

Agora, precisamos entender qual termo cresce mais rápido quando tende ao infinito: ou .
Sabemos que funções polinomiais, mesmo com expoentes pequenos, como , crescem mais rápido do que funções logarítmicas quando vai para o infinito. Isso significa que o denominador vai aumentar muito mais rápido que o numerador .

Passo 5

Dado que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero. Em termos matemáticos:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Esboce a curva:
(para i) pode considerar que )
Se é um polinômio qualquer, portanto, também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de existe pelo menos uma raiz de .
Seja uma função derivável tal que para todo . Mostre que existe um tal que para todo . ( Sugestão: considere a função e use (a)).
Encontre a linearização de em a para .