Calcule os seguintes limites: lim x +infty ln (x^100)raiz[5]x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando lim x +infty ln (x^100)raiz[5]x tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar como essas funções se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Sabemos que o logaritmo de uma potência pode ser simplificado usando a regra:
ln (x^n) = n cdot ln x
Então, aplicando isso à nossa expressão:
ln (x^100) = 100 cdot ln x
Agora, nossa expressão fica:
100 cdot ln xraiz[5]x

Passo 3

Vamos reescrever a raiz quinta para facilitar a comparação com o logaritmo:
raiz[5]x = x^15
Então, a expressão agora é:
100 cdot ln xx^15

Passo 4

Agora, precisamos entender qual termo cresce mais rápido quando tende ao infinito: ou .
Sabemos que funções polinomiais, mesmo com expoentes pequenos, como , crescem mais rápido do que funções logarítmicas quando vai para o infinito. Isso significa que o denominador vai aumentar muito mais rápido que o numerador .

Passo 5

Dado que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero. Em termos matemáticos:
lim x +infty 100 cdot ln xx^15 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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