Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando
tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar como essas funções se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Sabemos que o logaritmo de uma potência pode ser simplificado usando a regra:
Então, aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 3
Vamos reescrever a raiz quinta para facilitar a comparação com o logaritmo:
Então, a expressão agora é:
Passo 4
Agora, precisamos entender qual termo cresce mais rápido quando
tende ao infinito:
ou
.
Sabemos que funções polinomiais, mesmo com expoentes pequenos, como
, crescem mais rápido do que funções logarítmicas quando
vai para o infinito. Isso significa que o denominador
vai aumentar muito mais rápido que o numerador
.
Passo 5
Dado que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero. Em termos matemáticos:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Esboce a curva:
(para i) pode considerar que
)
Se
é um polinômio qualquer, portanto,
também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de
existe pelo menos uma raiz de
.
Seja
uma função derivável tal que
para todo
. Mostre que existe um
tal que
para todo
. ( Sugestão: considere a função
e use (a)).
Encontre a linearização
de
em a para
.