Seja
uma função derivável tal que
para todo
. Mostre que existe um
tal que
para todo
. ( Sugestão: considere a função
e use (a)).
Passo 1
Então, temos a função
que é derivável e satisfaz a condição
para todo
real. Nosso objetivo aqui é mostrar que existe uma constante
real tal que
para todo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais simples e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função sugerida no enunciado:
. A ideia aqui é simplificar a equação diferencial dada transformando-a em algo mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 4
Sabemos que
pela condição do problema. Substituindo isso na expressão da derivada, ficamos com:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, percebemos que os termos se anulam:
Isso significa que a derivada de
é zero para todo
, indicando que
é uma função constante.
Passo 6
Se
é constante, podemos escrever:
onde
é uma constante real.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Passo 8
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, existe uma constante real
tal que
para todo
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Esboce a curva:
(para i) pode considerar que
)
Encontre a linearização
de
em a para
.
Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 do exercício anterior, calcular um valor aproximado e o erro desta aproximação para:
.