Seja uma função derivável tal que para todo . Mostre que existe um tal que para todo . ( Sugestão: considere a função e use (a)).

Passo 1

Então, temos a função que é derivável e satisfaz a condição para todo real. Nosso objetivo aqui é mostrar que existe uma constante real tal que para todo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais simples e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função sugerida no enunciado: . A ideia aqui é simplificar a equação diferencial dada transformando-a em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Usando a regra do produto para derivadas, temos:

Passo 4

Sabemos que pela condição do problema. Substituindo isso na expressão da derivada, ficamos com:

Passo 5

Simplificando a expressão acima, percebemos que os termos se anulam:
Isso significa que a derivada de é zero para todo , indicando que é uma função constante.

Passo 6

Se é constante, podemos escrever:
onde é uma constante real.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :

Passo 8

Isolando , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

Portanto, existe uma constante real tal que para todo .

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Calcule os seguintes limites:
Esboce a curva:
(para i) pode considerar que )
Encontre a linearização de em a para .
Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 do exercício anterior, calcular um valor aproximado e o erro desta aproximação para: .